Achar determinados parâmetros de uma Hipérbole dada a equação da mesma.

[amadeu]

Boa noite a todos.

A questão que vos coloco, a qual não sei sequer por onde começar, é a seguinte:

Determinar para uma hipérbole cuja equação é:

\(9x^2 -16 -y^2 -18x -64y -199 = 0\)

a) O centro;

b) os vértices;

c) os focos;

d) as equações das assíntotas.

Agradecia resolução pormenorizada, para me servir como "modelo", para ficar a saber como isso se resolve de facto, para vir a aplicar noutras resoluções futuras.

Grato pela atenção
Amadeu

[Fraol]

Bom dia, vou ajudar parcialmente:

\(9x^2 -16 -y^2 -18x -64y -199 = 0\)

Podemos transformar essa expressão o usando o método de completar quadrados da seguinte forma

\({9x^2} {-16} {-y^2} {-18x} {-64y} {-199} = {0} \Leftrightarrow {9(x^2-2x)} {-(y^2+32y)} {- 215} = {0}\) juntamos os termos semelhantes.

\(\Leftrightarrow {9(x^2-2x +1 -1)} {-(y^2+64y + 1024 - 1024 )} {- 215} = {0}\) preparamos para completar os quadrados.

\(\Leftrightarrow {9((x-1)^2 -1)} {-(y+32)^2 - 1024 )} {- 215} = {0}\) transformamos em quadrados.

\(\Leftrightarrow {9(x-1)^2} -{9} {-(y+32)^2} {+ 1024 } {- 215} = {0}\) ajustes na expressão.

\(\Leftrightarrow {9(x-1)^2} {-(y+32)^2} = {-800}\) expressão final.

Nesta expressão é observável que o centro é \((1, -32)\).

Agora já começamos, fica a seu cargo a conclusão.

[amadeu]

Olá fraol.

Me diga o seguinte: Considerando que as equações canónicas da hipérbole podem ser:

\(\frac{(X-H)^2}{A^2}-\frac{(Y-K)^2}{B^2}=1\) ---> Para os focos contidos no eixo do X.

e

\(\frac{(y-K)^2}{A^2-\frac{(X-H)^2}{B^2}=1\) ---> Para os focos contidos no eixo do Y.

[amadeu]

Olá fraol.

Me diga o seguinte: Considerando que as equações canónicas da hipérbole podem ser:

\(\frac{(X-H)^2}{A^2}-\frac{(Y-K)^2}{B^2}=1\) ---> Para os focos contidos no eixo do X.

e

\(\frac{(y-K)^2}{A^2}-\frac{(X-H)^2}{B^2}=1\) ---> Para os focos contidos no eixo do Y.

Tendo em conta que a equação da hipérbole que postei anteriormente é do 2º tipo acima referido, focos contidos no eixo do Y, pois pude verificar no Geogebra através da equação geral, como procedo para a colocar na fórmula canónica ou reduzida ? Será como descrevo abaixo ?

\({9(x-1)^2}\,-{(y+32)^2} = -800\;\;\rightarrow\;\;-{(y+32)^2}\,+{9(x-1)^2} = -800\;\;\rightarrow\;\;-1.[-{(y+32)^2}\,+{9(x-1)^2} = -800]\;\;\rightarrow\;\;(y+32)^2\,-9(x-1)^2 = 800\)

\(\frac{(y+32)^2}{800}\,-\,\frac{9(x-1)^2}{800} = \frac{800}{800}\;\;\rightarrow\;\;\frac{(y+32)^2}{800}\,-\,\frac{9(x-1)^2}{800}=1\;\;\rightarrow\;\;\frac{(y+32)^2}{20\sqrt{2}}\,-\,\frac{9(x-1)^2}{20\sqrt{2}}=1\)

Se os denominadores estão corretos \(20\sqrt{2}\), o que faço com o nove do numerador da 2ª fração ? Aplico a distributiva em relação ao parenteses ou fica como está?

Grato
Amadeu

[Fraol]

Boa tarde Amadeu,

A resposta simples é: divida o numerador e o denominador por 9. Pois o A e o B não precisam ser iguais.

Ficaria assim:

\(\frac{(y+32)^2}{(20\sqrt{2})^2}\,-\,\frac{\frac{9}{9}(x-1)^2}{\frac{(20\sqrt{2})^2}{9}}=1\). Daí em diante ... simplicar.