Retas ortogonais e equações paramétricas

[esr]

Considere a reta r: (x,y,z) = (1,0,1) + t(1,-1,2). Determine uma parametrização de s, uma reta orogonal à r, passando pelo ponto E = (0,1,1). Considerando a solução dada por você, analise se existe um plano contendo as retas r e s.

[Sobolev]

Para obter a recta s basta escolher um vector director perpendicular a (1,-1,2), pode tomar por exemplo o vector (1,1,0), já que \((1,-1,2)\cdot (1,1,0) = 1-1+0=\mathrm{0}\). Assim, a recta s será constituída pelos pontos da forma

\((x,y,z) = (0,1,1) + u (1,1,0), \quad u \in \mathbb{R}\)

Para determinar se estas duas rectas formam um plano basta verificar se estas se intersectam, isto é, se existem \(t,u \in \mathbb{R}\) tais que

\((1,0,1) + t(1,-1,2) = (0,1,1)+ u(1,1,0) \Leftrightarrow
(1+t,-t, 1+2t) = (u, 1+u, 1)\)

Comparando a terceira componente dos dois vectores na última linha, concluímos que devemos ter t=0, comparando agora a primeira componente vemos que se deve ter u=1, mas como estas escolhas impedem a igualdade da segunda componente, concluímos que não existem u,t nas condições requeridas, pelo que as rectas não se intersectam.