Pesquisa sobre cônicas e quádricas. Qual a equação geral da parábola?

[alfcorreia]

Olá pessoal, sou novo no fórum, então perdoem qualquer "canelada".
Estou cursando a disciplina Geometria Analítica e Vetores e estou fazendo uma pesquisa sobre cônicas e quádricas. Parte da pesquisa consiste em demonstrar algébricamente as equações das cônicas. O problema surge justamente na parábola, que talvez fosse a mais simples. Não encontro em nenhum dos livros que utilizo a equação geral da parábola. Perdõem se o erro for meu em não saber interpretar as informações dos livros, mas o fato é que não reconheço em nenhum deles a demonstração de como "chegamos" na equação geral da parábola.
Se alguém puder ajudar, agradeço.

[Fraol]

Olá alfcorreia,

Se considerarmos que \(y = ax^2 + bx +c\) é a equação geral da parábola e impusermos algumas premissas tais como, por exemplo: a reta diretriz é paralela ao eixo dos \(x\), o \(y\) do foco é diferente do \(y\) da reta diretriz (seria parábola se fossem iguais?), digamos que a diretriz tem equação \(y = d\), o foco é \(F=(x_f, y_f)\) e usarmos a definição de parábola para um ponto qualquer dela P=(X,Y) teremos o seguinte:

\(\sqrt{(X-x_f)^2 + (Y-y_f)^2} = \sqrt{(X-X)^2+(Y-d)^2}\)

Se você desenvolver essa equação chegará em algo assim (aliás é bom você desenvolvê-la para ver se não errei em nada):

\(Y = \frac{1}{2(y-d)}X^2 - \frac{x_f}{(y-d)}X + \frac{x_f^2 + y_f^2 - d^2}{2(y-d)}\)

Ficou lindona hein! (é só fazer as seguintes substituições:
\(a = \frac{1}{2(y-d)}, b = - \frac{x_f}{(y-d)} , c = \frac{x_f^2 + y_f^2 - d^2}{2(y-d)}\)


Vamos testar, seja a famosa \(y = x^2 -5x + 6\) cujo focos é \(F=(5/2, 0)\) e a diretriz é \(y = -1/2\) ... é com você ...

[alfcorreia]

Amigo, sua resposta já foi de grande ajuda, mas o que preciso é o seguinte, "encontrar a equação geral a partir da equação reduzida". A reduzida eu sei qual é,

x²=2py

A dúvida está no processo. Se puder ajudar, agradeço.

[Fraol]

Oi, boa noite,

Ok - se é para partir de \(x^2 = 2py\) então vamos considerar o seguinte:

Essa equação tem diretriz paralela ao eixo dos \(x\), concavidade positiva e vértice (0,0).

Seguindo essa linha e considerando um vértice qualquer \((x_0, y_0)\) a equação ficaria assim:

\((x-x_0)^2 = 2p(y-y_0)\)

Se desenvolver o quadrado do lado esquerdo e separar o \(y\), chegará em: \(y = \frac{1}{2p}x^2 - \frac{x_0}{p} x + \frac{x_0^2+2py_0}{2p}\)

E daí chamando os coeficientes de \(a, b\) e \(c\) ... obtém se a equação geral.

Se não for isso que está procurando, vamos discutindo ...

[alfcorreia]

Caro fraol, sua resposta foi de grande ajuda. Muito obrigado!