Equação do plano no espaço

[danjr5]

Obtenha a equação do plano que passa pela reta \(r: x = y = - z\) e é paralela à reta \(s : \begin{cases}x = z + 1 \\ y = 3z - 2 \end{cases}\).

Spoiler:

\(\pi : 2x - y + z = 0\)

[Baltuilhe]

Boa noite!

Da reta r obtenho o seguinte vetor diretor:
\(\vec{d_1}=(1,1,-1)\)

Da reta s tiro outro vetor diretor:
\(x-1=z
(y+2)/3=z\)

Então:
\(s:x-1=\frac{y+2}{3}=z\)

Vetor diretor:
\(\vec{d_2}=(1,3,1)\)

Fazendo o produto vetorial entre os dois vetores obteremos um vetor normal ao plano:
\(\vec{n}=d_1\times d_2=\left | \begin{matrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 1 & -1\\
1 & 3 & 1
\end{matrix}\right |=4\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k}\)

Agora, basta encontrar um ponto deste plano:
Da reta r, temos que (0,0,0) é um ponto do plano. Então, a equação do mesmo pode ser obtida da seguinte forma: como o vetor normal é perpendicular a qualquer vetor do plano, monto o vetor PX que passa pelo ponto P do plano e por um outro ponto X qualquer do plano.
\(4(x-0)-2(y-0)+2(z-0)=0
4x-2y+2z=0
2x-y+z=0\)

Espero ter ajudado!