Decompor vetor v em soma de dois vetores

[Kingflare]

Olá pessoal, tenho mais um exercício meio "chato" que não obtive resultado igual ao do gabarito, o exercício é esse: Seja o vetor v=(2,6,10), decomponha-o como soma de dois vetores x e y, de modo que x seja paralelo a reta R e y seja ortogonal a reta R, essa reta é:P=(2,-1,5)+t(-1,4,2). O que fiz foi o seguinte:

Se x é paralelo a reta r, então x é múltiplo do vetor diretor de R.
Se y é ortogonal a reta R, então o produto interno de y e o vetor diretor de R é 0. Como x é paralelo a R e y é ortogonal a R, então y é ortogonal a x.
E por último x+y = (2,6,10).

Tentei montar um sistema de equações envolvendo essas informações, mas não deu certo. Alguém pode me ajudar? O raciocínio da questão está correto? Desde já, agradeço!

[Baltuilhe]

Boa noite!

Para resolver a questão vamos obter um vetor diretor da reta r dada.
\(\vec{d}=(-1,4,2)\)

Como o vetor x oriundo da decomposição do vetor v é PARALELO à reta r e o outro vetor (y) é ortogonal a este temos que o vetor x é a PROJEÇÃO ORTOGONAL de v sobre a reta R.
\(proj_{\vec{d}} \vec{v} = \frac{\vec{d}\cdot\vec{v}}{||\vec{d}||^2}\; \vec{d}\)
Como \(\vec{v}=(2,6,10)\), temos:

\(proj_{\vec{d}} \vec{v} = \frac{(-1,4,2)\cdot(2,6,10)}{(-1,4,2)\cdot(-1,4,2)}\; (-1,4,2)\\
proj_{\vec{d}} \vec{v} = \frac{(-1)(2)+(4)(6)+(2)(10)}{(-1)^2+(4)^2+(2)^2}\; (-1,4,2)\\
proj_{\vec{d}} \vec{v} = \frac{-2+24+20}{1+16+4}\; (-1,4,2)\\
proj_{\vec{d}} \vec{v} = \frac{42}{21}\; (-1,4,2)\\
proj_{\vec{d}} \vec{v} = 2\; (-1,4,2)\\
proj_{\vec{d}} \vec{v} = (-2,8,4)\)

Então:
\(\vec{x}=(-2,8,4)\)

Agora com o vetor x (que é paralelo à reta r), podemos calcular o vetor y:
\(\vec{x}+\vec{y}=\vec{v}\\
(-2,8,4)+\vec{y}=(2,6,10)\\
\vec{y}=(2,6,10)-(-2,8,4)\\
\vec{y}=(4,-2,6)\)

Para verificar que x e y são ortogonais entre si:
\(\vec{x}\cdot\vec{y}{=}(-2,8,4)\cdot(4,-2,6){=}(-2)(4)+(8)(-2)+(4)(6){=}-8-16+24{=}0\)

Como o resultado deu zero ambos os vetores são ortogonais entre si!
E sua soma resulta no vetor v original.

Espero ter ajudado!