GEOMETRIA ANALÍTICA, cônicas e quadricas
28 mai 2014, 23:53
OLA GOSTARIA DE PEDIR A AJUDA DE VCS PARA RESPONDER ESSAS QUESTÕES.
- Anexos
-
- SEGUE QUESTOES
Re: GEOMETRIA ANALÍTICA, cônicas e quadricas
29 mai 2014, 17:16
1.Centrada no ponto (1,-1) e foco (2, -1) quer dizer que podemos determinar os focos somando 1 e subtraindo 1 ao centro, logo c=1. Como c=1 e temos a igualdade \(a^2=b^2+c^1=b^2+1\), podemos pegar na equação cartesiana da elipse e substituir x e y pelo ponto dado, isto é,
\(\frac{(2-1)^2}{b^2+1}+\frac{(1+1)^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{b^2+4b^2+4}{b^2(b^2+1)}=1\Rightarrow -b^4+4b^2+4=0.\)
A partir daqui podemos calcular os possíveis valores que b poderá tomar:
\(t=b^2\);
\(-t^2+4t+4=0\Leftrightarrow t=\frac{-4\pm \sqrt{16-4(-1)(4)}}{-2}=2 \pm (-2)\sqrt{2}\)
ora, como t=b^2,
\(b=\sqrt{2 \pm 2\sqrt{2}}=\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}\Rightarrow a^2=3+2\sqrt{2}\Rightarrow a=\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}\)
Agora é só escrever a fórmula:
\(\frac{(x-1)^2}{3+2\sqrt{2}}+\frac{(y+1)^2}{2+2\sqrt{2}}=1\)
2.
A excentricidade é a razão da distância que vai entre os dois focos e a distância entre os dois vértices "maiores".
Como vemos, a=2, dado que do centro (1,2) até ao vértice (3,2) temos uma distância de 2. Daqui surge que:
\(1=\frac{2c}{4}\), logo c=2 o que leva a que b seja 0, (a^2=b^2+c^2) o que é um absurdo.
De facto a excentricidade de uma elipse nunca pode tomar o valor 1 (nem o 0) e quando assim é estamos perante uma parábola, como é o caso.
\(\frac{(2-1)^2}{b^2+1}+\frac{(1+1)^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{b^2+4b^2+4}{b^2(b^2+1)}=1\Rightarrow -b^4+4b^2+4=0.\)
A partir daqui podemos calcular os possíveis valores que b poderá tomar:
\(t=b^2\);
\(-t^2+4t+4=0\Leftrightarrow t=\frac{-4\pm \sqrt{16-4(-1)(4)}}{-2}=2 \pm (-2)\sqrt{2}\)
ora, como t=b^2,
\(b=\sqrt{2 \pm 2\sqrt{2}}=\sqrt{2 + 2\sqrt{2}}\Rightarrow a^2=3+2\sqrt{2}\Rightarrow a=\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}\)
Agora é só escrever a fórmula:
\(\frac{(x-1)^2}{3+2\sqrt{2}}+\frac{(y+1)^2}{2+2\sqrt{2}}=1\)
2.
A excentricidade é a razão da distância que vai entre os dois focos e a distância entre os dois vértices "maiores".
Como vemos, a=2, dado que do centro (1,2) até ao vértice (3,2) temos uma distância de 2. Daqui surge que:
\(1=\frac{2c}{4}\), logo c=2 o que leva a que b seja 0, (a^2=b^2+c^2) o que é um absurdo.
De facto a excentricidade de uma elipse nunca pode tomar o valor 1 (nem o 0) e quando assim é estamos perante uma parábola, como é o caso.
Re: GEOMETRIA ANALÍTICA, cônicas e quadricas
29 mai 2014, 17:35
O foco é (3,2) e o centro (1,1), logo podemos concluir que a elipse está ao longo de uma diagonal do usual plano cartesiano.
(1,1)+c(2,1)=(3,2), logo c=1. Desta forma, o outro foco será o ponto (-1,0), \(a=\frac{3}{\sqrt{5}}\).
Os vértices serão então dados por:\((1,1)\pm \frac{3}{\sqrt{5}}(2,1)\).
(1,1)+c(2,1)=(3,2), logo c=1. Desta forma, o outro foco será o ponto (-1,0), \(a=\frac{3}{\sqrt{5}}\).
Os vértices serão então dados por:\((1,1)\pm \frac{3}{\sqrt{5}}(2,1)\).
Re: GEOMETRIA ANALÍTICA, cônicas e quadricas
29 mai 2014, 17:43
Finalmente, podemos extrair o valor de b de fórmula análoga ao feito anteriormente, chegando a \(b=\frac{2\sqrt{5}}{5}\).
Desta forma, a equação cartesiana terá a forma:
\(2\times \frac{(x-1)^2}{3\sqrt{5}/5}+1\times\frac{(y-1)^2}{4/5}=1\),
onde o 2 e o um vêm do facto de a elipse estar rodada sobre o vector (2,1).
Desta forma, a equação cartesiana terá a forma:
\(2\times \frac{(x-1)^2}{3\sqrt{5}/5}+1\times\frac{(y-1)^2}{4/5}=1\),
onde o 2 e o um vêm do facto de a elipse estar rodada sobre o vector (2,1).
Re: GEOMETRIA ANALÍTICA, cônicas e quadricas
29 mai 2014, 22:48
obrigado cara, me ajudou muito.
teria como tu me indicar um livro de geometria o mais didático possível, pois estou usando um que tem uma abordagem meio complicada
o que dificulta meu entendimento.
desde já agradeço.
teria como tu me indicar um livro de geometria o mais didático possível, pois estou usando um que tem uma abordagem meio complicada
o que dificulta meu entendimento.
desde já agradeço.