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Considere-se o plano perpendicular aos anteriores com a designação ∏₃.

Se ∏₃ é perpendicular ao dois planos indicados, isso quer dizer que os vectores normais a ∏₃ são perpendiculares aos dos planos ∏₁ e ∏₂. Assim sendo, o produto interno de quaisquer dois vectores normais a ∏₁ e ∏₃ é zero, o mesmo acontecendo com o produto interno de quaisquer dois vectores normais a ∏₂ e ∏₃.

Das equações dos planos obtém-se um vector normal a cada um dos planos ∏₁ e ∏₂ que são:

vector normal a ∏₁: (1,0,1)

vector normal a ∏₂: (0,1,-1)

Considerando o vector normal a ∏₃, n, como tendo as coordenadas (n1, n2, n3), obtém-se um sistema de equações:

\(\left\{\begin{matrix} \vec{n}.(1,0,1)=0\\\vec{n}.(0,1,-1)=0 \end{matrix}\right.\)

o resultado do sistema de equações é:\(\left\{\begin{matrix} \ n1=-n3\\\ n2=n3 \end{matrix}\right.\)

Isto quer dizer que os vectores normais ao plano perpendicular a ∏₁ e ∏₂ são da forma (-n,n,n). Então, um vector normal ao plano será (-1,1,1) e a equação geral do plano será:

-x+y+z+d=0

Como o plano passa no ponto (-1,2,-4), substituindo na equação x, y e z pelas coordenadas do ponto obtém-se d=1

Uma equação geral do plano ∏₃ é então -x+y+z+1=0