Paralelismo e ângulos entre reta e plano

[sucal]

Ache um vetor diretor de uma reta paralela ao plano π1:x+y+z=0 e que forma 45 graus com o plano π2:x-y=0

[Estudioso]

Por aqui você terá uma ótima ideia em como resolver o problema: http://www.ajudamatematica.com/viewtopi ... 17&t=12131

Dá uma olhada aí e qualquer dúvida pergunte.

Abraço

[sucal]

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Dá uma olhada aí e qualquer dúvida pergunte.

Abraço

Eu tinha feito até aí, mas não estou conseguindo resolver o sistema..

[lukyo]

Queremos encontrar um vetor diretor \(\mathbf{v}_r\) de uma reta \(r\) paralela ao plano \(\pi_{1}:x+y+z=0\) e que forma um angulo \(\theta=45^{\circ}\) com o plano \(\pi_{2}:x-y=0\).

Os vetores normais aos planos \(\pi_{1}\) e \(\pi_{2}\) são, respectivamente

\(\mathbf{n_{\pi_{1}}}=\left \langle 1,1,1 \right \rangle \\ \mathbf{n_{\pi_{2}}}=\left \langle 1,-1,0 \right \rangle\)

Nota-se que estes dois planos são ortogonais entre si, pois o produto escalar entre os seus vetores normais é zero.

\(\mathbf{n_{\pi_{1}}} \cdot \mathbf{n_{\pi_{2}}}=\left \langle 1,1,1 \right \rangle \cdot \left \langle 1,-1,0 \right \rangle \\ \mathbf{n_{\pi_{1}}} \cdot \mathbf{n_{\pi_{2}}}=1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1)+1 \cdot 0 \Rightarrow \mathbf{n_{\pi_{1}}} \cdot \mathbf{n_{\pi_{2}}}=0\)

Sendo assim, é impossível encontrar um vetor diretor \(\mathbf{v}_r\) que seja paralelo ao plano \(\pi_{1}\) e, simultaneamente, forme um ângulo \(\theta=45^{\circ}\) com o plano \(\pi_{2}\), pois

se \(\mathbf{v}_r\) é paralelo ao plano \(\pi_{1}\), então \(\mathbf{v}_r \cdot \mathbf{n}_{\pi_{1}}=0\)[/list], o que, juntamente com o fato de que \(\pi_{1}\) e \(\pi_{2}\) serem planos ortogonais entre si, nos levaria a concluir que os vetores \(\mathbf{v}_r\) e \(\mathbf{n_{\pi_{2}}}\) são paralelos, o que por sua vez nos leva a concluir que \(\mathbf{v}_r\) também é um vetor normal ao plano \(\pi_{2}\).

[lukyo]

Desculpe-me, mas tudo o que eu disse acima está errado. Só agora percebi que é possível sim, existir um vetor que seja, simultaneamente paralelo a \(\pi_{1}\) e forme um ângulo de 45º com \(\pi_{2}\).