Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Alguem pode me ajudar,
estou no R3 e tenho muitas duvidas de conclusoes de calculos,
como este:
Para os valores de k os pontos A(0,1,2), B(-1,2,3), C(k,3,0) e D(4,-9,1) pertencem a um mesmo plano?

Olá $THG$,
bom dia!



Inicialmente, devemos encontrar a equação do plano que passa pelos pontos A, B e D.

Fixamos o ponto B, encontramos os vetores \(\vec{BA}\) e \(\vec{BD}\), depois calculamos o vetor perpendicular aos dois (produto vetorial) que é o vetor normal do plano. Isto posto, temos que:

\(\\ \vec{BA} = (0 - (- 1), 1 - 2, 2 - 3) \\\\ \vec{BA} = (1, - 1, - 1)\)

E,

\(\\ \vec{BD} = (4 - (- 1), - 9 - 2, 1 - 3) \\\\ \vec{BD} = (5, - 11, - 2)\)

Com efeito,

\(\vec{BA} \; \wedge \; \vec{BD} = \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} & | & \vec{i} & \vec{j} \\ 1 & - 1 & - 1 & | & 1 & - 1 \\ 5 & - 11 & - 2 & |& 5 & - 11 \end{bmatrix}\)


\(\vec{BA} \; \wedge \; \vec{BD} = 2\vec{i} - 5\vec{j} - 11\vec{k} + 5\vec{k} - 11\vec{i} + 2\vec{j}\)


\(\vec{BA} \; \wedge \; \vec{BD} = - 9\vec{i} - 3\vec{j} - 6\vec{k}\)


\(\vec{BA} \; \wedge \; \vec{BD} = (- 9, - 3, - 6)\)

Uma vez que a equação do plano é dada por \(ax + by + cz + d = 0\), temos: \(- 9x - 3y - 6z + d = 0\)

Para descobrir "d", substituímos um dos pontos (A, B ou D) na equação acima.

\(\\ - 9 \cdot 0 - 3 \cdot 1 - 6 \cdot 2 + d = 0 \\\\ 0 - 3 - 12 + d = 0 \\\\ \fbox{d = 15}\)

Daí, a equação é:

\(\\ - 9x - 3y - 6z + {15} = {0} \;\; \div(-3 \\\\ 3x + y + 2z - {5} = {0}\)


E, para finalizar, admitamos que o ponto C pertence ao plano; então, ao substituí-lo na equação do plano a igualdade deverá ser satisfeita.

Segue que,

\(\\ 3x + y + 2z - {5} = {0} \\\\ 3 \cdot k + 3 + 2 \cdot 0 - {5} = {0} \\\\ 3k + {3} - {5} = {0} \\\\ \fbox{\fbox{k=\frac{2}{3}}}\)

Espero ter ajudado!

_________________
Daniel Ferreira
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