Excentricidade da elipse geometria analitica

[caioho12]

Dê a excentricidade da elipse obtida pela intersecção de z + x² + 3y² = 0 com z + 9 = 0

[Estanislau]

Vamos mudar as coordenadas transferindo a origem para o ponto (0, 0, 9): x' = x, y' = y, z' = z - 9. Nas novas coordenadas o elipse fica no plano x'y', então basta usar a fórmula comum da excentricidade. Eu não me lembro dela, em último caso pode pesquisar no google.

[jorgeluis]

se,
\(z+9={0}
e,
z+x^2+3y^2=0\)
então,
\(x^2+3y^2=9\)
logo, a equação da elipse é:
\(\frac{x^2}{9}+\frac{3y^2}{9}=\frac{9}{9}
\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{3}=1\)
0nde,
\(a^2=3^2\)
\(a=\pm 3\)
e
\(b^2=3\)
\(b=\pm \sqrt{3}\)

a>b, (focos da elipse no eixo das abscissas)

\(a^2=b^2+c^2
3^2=(\sqrt{3})^2+c^2
c=\pm \sqrt{6}\)

\(\varepsilon =\frac{c}{a}\)
\(\varepsilon =\frac{\sqrt{6}}{3}\)
ou
\(\varepsilon \approx 0,816\)

[Estanislau]

se,
logo, a equação da elipse é:
[tex]\frac{x^2}{9}+\frac{3y^2}{9}=\frac{9}{9}

jorgeluis, refleta um pouco sobre o que está a escrever. A elipse fica no espaço, no plano z = 9, e essa equação aí define uma curva no plano xy, isso é, z = 0. Não é a mesma elipse, mas a projeção desta no plano z = 0. Então, seria bom justificar que a elipse e a projeção têm a mesma excentricidade.