Determinar altura relativa de triângulo

[LuizCMSRJ]

Determinar a altura relativa ao vértice A do triângulo ABC.
Dados A(2,3), B(6,12) e C(9,25)

Nessa questão da prova eu fiquei em dúvida por não lembrar o modo que se faz, e os exemplos dados em sala não foi nenhuma com semelhança. Na aula a professora passou dando duas retas "r" e "s" para calcular a distância, mas nenhuma referente à altura de algum ponto do triângulo. Pensei na possibilidade de fazer BC e fazer o ponto genérico "x" e "y" para fazer AP. Sendo assim, ficando:

BC (9,25)-(6,12) = (3,13)
AP (x,y)-(2,3) = (x-2,y-3)

Nesse ponto fiquei perdido, não sei se comecei certo.

Desde já meus sinceros votos de agradecimentos.

[Fraol]

Boa tarde,

Vamos partir daqui:

BC (9,25)-(6,12) = (3,13)

Este é o vetor diretor da reta BC, precisamos do vetor normal dessa reta que é (13, -3), concorda?

Então a equação Ax + Bx + C = 0 da reta BC é 13x -3y + C = 0. ( aqui A, B e C são os coeficientes da reta e não os pontos )

Se substiuirmos um dos pontos (B ou C) na equação encontraremos C = - 42.

A distância de A até BC é dada por \(\frac{\left | Ax_A + By_A + C \right |}{\sqrt{A^2 + B^2}}\).

Como já tem todos os dados, basta substituir para terminar.

[LuizCMSRJ]

Amigo, agradeço de coração a ajuda. Na xerox a professora havia deixado o gabarito das provas aplicadas e peguei a manha para desenvolver esse tipo de questão.

Como é relativo ao vértice A, tenho que calcular BC e o ponto genérico BP, ficando assim:

BC (9,25)-(6,12) = (3,13)
BP (x,y)-(6,12) = (x-6,y-12)

Depois aplico a matriz para calcular a reta, algo assim (rsrsrs)

\(\begin{bmatrix} x-6 & y-12\\ 3&13 \end{bmatrix}=0\)

13(x-6)-3(y-12)
13x-78-3y+36=0
13x-3y-42=0

Depois aplico a fórmula da distância:

\(d=\left | \frac{13.2-3.3-42}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}} \right |\rightarrow d=\left | \frac{26-9-42}{\sqrt{4+9}} \right | =\frac{-25}{\sqrt{13}}\)

Aí aplica um processo que esqueci o nome agora, que fica assim:

\(\frac{-25}{\sqrt{13}}.\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=\frac{-25\sqrt{13}}{13}\)

Bem, a prova com a questão resolvida é a mesma, porém, ao invés de ser um ponto relativo ao vértice A, era relativo ao ponto B, que resultou \(\frac{25\sqrt{533}}{533}\)


Agora minha dúvida consiste no seguinte:

O meu, como é relativo ao vértice A, resultou em \(\frac{-25\sqrt{13}}{13}\)


O sinal negativo permanece ou ele é eliminado? Sei que não tem raiz negativa, mas como o 25 deu negativo por fora, ele permanece negativo ou se elimina, essa parte que estou desconhecido.

DEUS abençoe a todos aqui.

[Fraol]

Olá, boa noite.

O sinal negativo deve sumir pois você estava calculando, alguns passos antes, o módulo que é sempre positivo.

[LuizCMSRJ]

Era só essa dúvida mesmo, amigo. Agradeço muito pela força! Sucessos e bênçãos a todos vocês que vem nos ajudando. Confesso que estou um pouco desligado de exatas, já que faz quase 10 anos que terminei meu ensino médio, nesse tempo fiquei muito na área de ciências humanas, e me desliguei um pouco da matemática, que agora estou retomando o gosto pela mesma. E sendo assim, n que eu puder ajudar, ajudarei outros aqui. Somos todos irmãos uns ajudando outros.

Abração, amigo