Quádrica

[Man Utd]

Obtenha uma equacão do lugar geométrico dos pontos de \(E^3\) que equidistam das retas \(r:X=(0,0,0)+\lambda (1,0,0)\) e \(s:X=(0,1,0)+\lambda (0,0,1)\).Descreva o lugar geometrico.

Spoiler:

\(Y=\frac{X^2}{2}-\frac{Z^2}{2} : paraboloide, hiperbolico\)

estou com dificuldades em utilizar a informação do lugar geométrico...

grato pela atenção.

[Rui Carpentier]

Considere o seguinte resultado:

Dada uma reta \(\ell\) definida parametricamente por \(\vec{v}+\lambda \vec{u}\) com \(\vec{v},\vec{u}\in\mathbb{R}^n\) e \(\lambda\in\mathbb{R}\) (sendo \(\vec{u}\) um vetor unitário), a distância de um ponto/vetor \(\vec{x}\in\mathbb{R}^n\) a \(\ell\) é dada por \(||\vec{x}-\vec{v}-\langle \vec{u},\vec{x}-\vec{v}\rangle \vec{u}||\).

Agora é só determinar as expressões para as distâncias de um ponto \((x,y,z)\) a \(r\) e \(s\) e igualar.

(Por exemplo, a distância de \((x,y,z)\) a \(r\) é dada por \(||(x,y,z)-(x,0,0)||=\sqrt{y^2+z^2}\)).

Espero que ajude.

[Man Utd]

olá.
Me desculpe ,mas a fórmula para calcular a distância de um ponto a reta no espaço cartesiano ñ seria esta aqui?
\(D(P,r)=\frac{||QPXdr||}{||dr||}\) (esse x aí quero dizer o sinal "vetorial")
onde P é um ponto do espaço,Q é um ponto qualquer da reta,dr é o vetor diretor da reta "r"

[Rui Carpentier]

olá.
Me desculpe ,mas a fórmula para calcular a distância de um ponto a reta no espaço cartesiano ñ seria esta aqui?
\(D(P,r)=\frac{||QPXdr||}{||dr||}\) (esse x aí quero dizer o sinal "vetorial")
onde P é um ponto do espaço,Q é um ponto qualquer da reta,dr é o vetor diretor da reta "r"

Também. Ambas as fórmulas dão o mesmo valor, é só fazer \(\vec{u}=\frac{dr}{||dr||}\), \(P=\vec{x}\) e \(Q=\vec{v}\).

[Man Utd]

olá conseguir chegar na equação do paraboloide hiperbólico mas como deixar a equação igual ao gabarito?
\(y=\frac{x^2}{2}-\frac{z^2}{2}+\frac{1}{2}\)

[Rui Carpentier]

olá conseguir chegar na equação do paraboloide hiperbólico mas como deixar a equação igual ao gabarito?
\(y=\frac{x^2}{2}-\frac{z^2}{2}+\frac{1}{2}\)

Também obtive esse resultado. O gabarito deve estar errado, até porque se a solução fosse \(y=\frac{x^2}{2}-\frac{z^2}{2}\) isso significaria que o ponto (0,0,0) seria equidistante às retas r e s. Só que isso seria absurdo pois (0,0,0) pertence à reta r mas não à reta s.

[Man Utd]

obrigado pela ajuda.