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Os vetores \(\vec a\) e \(\vec b\), formam um angulo \(\alpha = (\vec a, \vec b) = \frac{\pi}{3}\). Calcular o ângulo \(\theta = (\vec u, \vec v)\), sendo \(\vec u = \vec a -2\vec b\) e \(\vec v = \vec a + \vec b\), sabendo-se que \(||\vec a|| = 6\) e \(||\vec b|| = 2\).

Boa noite!

Para o cálculo do ângulo entre vetores podemos utilizar o produto interno:
\(\cos(\theta)=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{||\vec{u}||\!||\vec{v}||}\)

Calculando então:
\(\vec{u}\cdot\vec{v}=(\vec{a}-2\vec{b})(\vec{a}+\vec{b})=\vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{b}-2\vec{a}\cdot\vec{b}-2\vec{b}\cdot\vec{b}
\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{a}||^2-\vec{a}\cdot\vec{b}-2||\vec{b}||^2=||\vec{a}||^2-||\vec{a}||\!||\vec{b}||\cos(\alpha)-2||\vec{b}||^2
\vec{u}\cdot\vec{v}=6^2-(6)(2)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)-2(2)^2
\vec{u}\cdot\vec{v}=36-6-8=22\)

\(||\vec{u}||=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{(\vec{a}-2\vec{b})\cdot(\vec{a}-2\vec{b})}=\sqrt{||\vec{a}||^2-4\vec{a}\cdot\vec{b}+4||\vec{b}||^2}
||\vec{u}||=\sqrt{6^2-4(6)(2)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+4(2)^2}=\sqrt{36-24+16}=\sqrt{28}\)

\(||\vec{v}||=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\sqrt{(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})}=\sqrt{||\vec{a}||^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+||\vec{b}||^2}
||\vec{v}||=\sqrt{6^2+2(6)(2)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+2^2}=\sqrt{36+12+4}=\sqrt{52}\)

Voltando para a fórmula original:
\(\cos(\theta)=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{||\vec{u}||\!||\vec{v}||}=\frac{26}{\sqrt{28}\sqrt{52}}
\cos(\theta)=\frac{22}{\sqrt{28}\sqrt{52}}=\frac{22}{4\sqrt{91}}
\theta\approx{0,9563}\)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Baltuilhe,
vê onde eu errei ae:
\(\alpha = \frac{\pi}{3}\) ou \(\alpha = 60^o\)
|a| = 6
|b| = 2

\(a.b = |a|.|b|.cos \alpha
a.b = 6.2.\frac{1}{2}
a.b = 6\)

se os vetores a e b, e, u e v, tiverem o mesmo sentido então pode-se dizer que eles possuem segmentos resultantes paralelos, logo são proporcionais. Assim, temos:

\(\frac{a.b}{cos \alpha} = \frac {u.v}{cos \theta}
\frac{a.b}{cos \alpha} = \frac{(a-2b).(a+b)}{cos \theta}
\frac{6}{1/2} = \frac{a^2-ab-4b^2}{cos \theta}
12cos \theta = |a|-a.b-4.|b|
12cos \theta = 6-6-8
12cos \theta = -8
cos \theta = -2/3
\theta = -0,666...
\theta = \arccos {48^o}\)
ou
\(\frac{4}{15} \pi\) rad

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Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

Boa tarde!

Jorge, o que ficou confuso foi o fato de ter assumido que "os segmentos resultantes são paralelos". Não sei como aplicaria isso no problema, mas na sua conta você, simplificando, quis dizer:
\(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\cos{\alpha}}=\frac{||\vec{a}||\!||\vec{b}||\cos{\alpha}}{\cos{\alpha}}=||\vec{a}||\!||\vec{b}||
\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\cos{\theta}}=\frac{||\vec{u}||\!||\vec{v}||\cos{\theta}}{\cos{\theta}}=||\vec{u}||\!||\vec{v}||\)

Então:
\(||\vec{a}||\!||\vec{b}||=||\vec{u}||\!||\vec{v}||\)

Não vi elementos no enunciado que deixassem chegar nessa conclusão.

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Baltuilhe,
achei que segmentos resultantes paralelos, de mesma direção e sentido possuissem módulos proporcionais. Daí, empreguei os produtos escalares como se fossem proporcionais. Mas, pela sua demonstração vi que não posso fazer isso.

Valeu pela verificação.

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