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A questão completa está anexada.
Estou com dificuldades em resolve-la.

Depende de qual a definição que usa para plano contendo A, B e C (há quem defina o plano (espaço afim) gerado por A, B e C com sendo os pontos da forma \(X=\lambda A+ \mu B + \nu C\) com \(\lambda + \mu + \nu=1\), neste caso não haveria nada a mostrar).
Vou dar umas resoluções partindo de outras definições de coplanaridade:

1) Definição: Um plano é um conjunto da forma X+L onde X é um ponto do espaço e L é um subespaço de dimensão 2. Logo um ponto X é coplanar aos pontos não colineares A, B e C sse X-A é linearmente dependente de B-A e C-A. (note que se os vetores \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) são não planares (i.e. são linearmente independentes) então os pontos A, B e C são não colineares (i.e. B-A e C-A são linearmente independentes)).

Resolução: \(P=\lambda\vec{a}+ \mu\vec{b} + \nu\vec{c}\) é coplanar, pela definição dada, se e só se \(P-A=(\lambda -1)\vec{a}+ \mu\vec{b} + \nu\vec{c}\) é linearmente dependente de \(B-A=\vec{b}-\vec{a}\) e \(C-A=\vec{c}-\vec{a}\). Ou seja, \(P-A=\alpha (B-A)+ \beta (C-A) \Leftrightarrow (\lambda -1)\vec{a}+ \mu\vec{b} + \nu\vec{c}=\alpha (\vec{b}-\vec{a})+ \beta (\vec{c}-\vec{a}) \Leftrightarrow (\lambda -1+\alpha+\beta)\vec{a}+ (\mu -\alpha )\vec{b} + (\nu -\beta )\vec{c}=0\) o que pela independência linear de \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) dá que \(\mu=\alpha\), \(\nu=\beta\) e \(\lambda = 1-\alpha-\beta\) logo \(\lambda + \mu + \nu=1\)

2) Vamos assumir que estamos no espaço tridimensional (de qualquer forma toda a ação passa-se no espaço tridimensional gerado por \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)).
Definição: Um plano é o conjunto solução de uma equação linear do tipo \(ax+by+cz=k\) com \((a,b,c)\not=(0,0,0)\) e k constantes (esta equação pode ser rescrita da forma \(F(X)=k\) onde F é um operador linear não-nulo em \(\mathbb{R}^3\) (i.e. uma tranformação linear de \(\mathbb{R}^3\) para \(\mathbb{R}\)) e \(X=(x,y,z)\)). Logo um ponto X é coplanar aos pontos não colineares A, B e C se existe um operador linear não-nulo F tal que F(X)=F(A)=F(B)=F(C).

Resoluçao: \(P=\lambda\vec{a}+ \mu\vec{b} + \nu\vec{c}\) é coplanar a A, B e C, se existe um operador linear \(F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}\) e uma constante k tal que \(F(P)=F(A)=F(B)=F(C)=k\) ora \(F(P)=F(\lambda A+ \mu B + \nu C)=\lambda F(A)+ \mu F(B) + \nu F(C)=(\lambda + \mu + \nu )k=k\) se e só se \(\lambda + \mu + \nu =1\) (note-se que os factos dos vetores \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) serem não coplanares (lin. ind.) e F não-nulo implicam que \(k\not= 0\)).