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calcular o volume do tetraedro

Tudo o que se tem de fazer é decompor \(\vec{a}\) na base \(\vec{a}=a_i\vec{i}+a_j\vec{j}+a_k\vec{k}\) e usar a multilinearidade do produto \(\wedge\) mais as identidades: \(\vec{i}\wedge\vec{j}=k=-\vec{j}\wedge\vec{i}\), \(\vec{j}\wedge\vec{k}=i=-\vec{k}\wedge\vec{j}\) e \(\vec{k}\wedge\vec{i}=j=-\vec{i}\wedge\vec{k}\).

\(\vec{i}\wedge (\vec{a}\wedge\vec{i})+\vec{j}\wedge (\vec{a}\wedge\vec{j})+\vec{k}\wedge (\vec{a}\wedge\vec{k})= \vec{i}\wedge ((a_i\vec{i}+a_j\vec{j}+a_k\vec{k})\wedge\vec{i})+\vec{j}\wedge ((a_i\vec{i}+a_j\vec{j}+a_k\vec{k})\wedge\vec{j})+\vec{k}\wedge ((a_i\vec{i}+a_j\vec{j}+a_k\vec{k})\wedge\vec{k})=\)
\(=\vec{i}\wedge (a_k\vec{j}-a_j\vec{k})+\vec{j}\wedge (a_i\vec{k}-a_k\vec{i})+\vec{k}\wedge (a_j\vec{i}-a_i\vec{j})=a_k\vec{k}+a_j\vec{j}+a_i\vec{i}+a_k\vec{k}+a_j\vec{j}+a_i\vec{i}=2\vec{a}\)