Fórum de Matemática
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A altura e a mediana relativa ao vértice B do triangulo ABC estao contidas respectivamentes em R:X = (-6,0,3) + \(\lambda\) (3,2,0) e
X = (0,0,3) + \(\lambda\) (3, -2,0), \(\lambda\) \(\in\) \(\mathbb{R}\), sendo C(4, -1, 3), determine A e B

Vou dizer como se faz (e deixo a contas para si):

O ponto B é o ponto de interseção da reta que contém a altura \(R: X = (-6,0,3) +\lambda (3,2,0) ,\lambda\in \mathbb{R}\) e a reta que contém a mediana \(S: X = (0,0,3) +\mu (3, -2,0), \mu \in \mathbb{R}\). É só resolver o sistema \((-6,0,3) +\lambda (3,2,0)=(0,0,3) +\mu (3, -2,0)\) e determinar \(B=(0,0,3) +\mu (3, -2,0)\) com o valor achado de \(\mu\).

Sendo \(R: X = (-6,0,3) +\lambda (3,2,0)\) a reta que contém a altura que passa em B, o ponto A vai estar na reta perpendicular a esta e contida no mesmo plano que R e C e que passa pelo ponto C. Será uma reta da forma \(R': X = (4,-1,3) + \lambda (a,b,c), \lambda \in \mathbb{R}\) onde \((a,b,c)\cdot(3,2,0)=0\) e \((a,b,c)\cdot [(C-B)\times (3,2,0)]=0\).

Sendo \(S: X = (0,0,3) +\mu (3, -2,0)\) a reta que contém a mediana que passa em B, o ponto A vai estar na reta paralela a esta e contida no mesmo plano que S e C e que está à mesma distância do ponto C mas no lado oposto. Será uma reta da forma \(S': X = P + \mu (3,-2,0), \mu \in \mathbb{R}\) onde \(P=B-(C-B)=2B-C\) (funciona também se nesta última expressão substituir o B por (0,0,3)).

Finalmente determina-se A como o ponto de interseção das retas R' e S'.