Fórum de Matemática
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Na figura abaixo, considere |→AB | = 3, |→AD | = 4 e |→AC | = 2. Escreva o vetor →AD como combinação linear de →AB e →AC .

\(\vec{AD}=\sqrt{2}\vec{AC}+\vec{AB}\)

skaa,
\(\sqrt{2}\underset{AC}{\rightarrow}+\underset{AB}{\rightarrow}\) não é combinação linear de \(\underset{AD}{\rightarrow}\)

isso porque: \(4\neq\sqrt{2}.2+3\)

uma combinação linear seria:

\(\underset{AD}{\rightarrow}=sen 30^0\underset{AC}{\rightarrow}+tg (15^0+30^0)\underset{AB}{\rightarrow}\)

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Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

Bom dia!

Vamos escrever os 3 vetores em forma de suas coordenadas x e y (imaginando que o eixo x esteja sobre o vetor AB, ok?)

Dados:
\(||\vec{AB}||=3
||\vec{AC}||=2
||\vec{AD}||=4\)

Então, temos:
\(\vec{AB}=3\vec{i}
\fbox{\vec{AB}=(3,0)}
\vec{AC}=2\left(\cos{45^\circ}\vec{i}+\sin{45^\circ}\vec{j}\right)=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{i}+\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{j}\right)=\sqrt{2}\vec{i}+\sqrt{2}\vec{j}
\fbox{\vec{AC}=\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)}
\vec{AD}=4\left(\cos{30^\circ}\vec{i}+\sin{30^\circ}\vec{j}\right)=4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{i}+\frac{1}{2}\vec{j}\right)=2\sqrt{3}\vec{i}+2\vec{j}
\fbox{\vec{AD}=\left(2\sqrt{3},2\right)}\)

Agora que temos os vetores escritos em uma forma 'melhor' para podermos trabalhar, vamos encontrar o que se pede:
\(\vec{AD}=\alpha\vec{AB}+\beta\vec{AC}
\left(2\sqrt{3},2\right)=\alpha(3,0)+\beta\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)
\begin{cases}
3\alpha&+&\sqrt{2}\beta&=&2\sqrt{3}\\
&&\sqrt{2}\beta&=&2
\end{cases}\)

Resolvendo o sistema:
\(\beta{=}\frac{2}{\sqrt{2}}
\fbox{\beta{=}\sqrt{2}}
3\alpha+\sqrt{2}(\sqrt{2}){=}2\sqrt{3}
3\alpha+2{=}2\sqrt{3}
3\alpha{=}2\sqrt{3}-2
\fbox{\alpha{=}\frac{2(\sqrt{3}-1)}{3}}\)

Então, fica:
\(\vec{AD}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{3}\vec{AB}+\sqrt{2}\vec{AC}\)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles