Distancias e retas no R2

[carloslira]

Sendo o vetor BC = (4,3), determine as equações das retas paralelas a BC e que distam 2 unidades da ORIGEM.

[Sobolev]

Se as rectas são paralelas a (4,3) terão declive 3/4, são portanto do tipo \(y = \frac 34 x + b\). Como a distância à origem é medida perpendicularmente às rectas, o ponto das rectas mais próximo da origem está na intersecção das rectas com a recta de equação \(y = -\frac 43 x\) (recta perpendicular às rectas dadas, que passa em (0,0)). Ora,

\(\frac 34 x + b = -\frac 43 x \Leftrightarrow x = \frac{12b}{25}\)

pelo que a interseção se dá no ponto \((\frac{12b}{25}, -\frac{16b}{25})\).

Finalmente, para que a distancia seja 2, deveremos ter

\(||(\frac{12b}{25}, -\frac{16b}{25})||=2 \Leftrightarrow \frac{144b^2}{625} + \frac{256b^2}{625}=4 \Leftrightarrow b = \pm \frac 52\)

pelo que as rectas pretendidas são

\(y = \frac 34 x + \frac 52, \qquad y = \frac 34 x -\frac 52.\)