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Determine as equações que representam as retas paralelas à reta x=-2y-2 e que dela distam 3.

A equação \(x=-2y-2\)da reta \(r\) pode ser rescrita da forma \(x+2y=-2\) ou seja \(\langle (1,2);(x,y)\rangle =-2\). Isto significa que o vetor (1,2) é perpendicular à reta. E portanto podemos obter vetor unitário perpendicular à reta dividindo-o pelo sua norma. Tendo um tal vetor (neste caso será \((1/\sqrt{5},2/\sqrt{5})\)) conseguimos calcular a distância de um qualquer ponto (p,q) à reta \(r\). Esta será dada por \(dist((p,q),r)=|\langle (1/\sqrt{5},2/\sqrt{5});(p,q)-(x_0,y_0)\rangle |\) onde \((x_0,y_0)\) é um ponto de \(r\) (por exemplo, \((x_0,y_0)=(-2,0)\)).
Por outro lado qualquer reta paralela a \(r\) terá equação do tipo \(x=-2y+k\) (com k constante) pois a inclinação é a mesma. A distância desta à reta \(r\) é dada pela distância de um dos seus ponto (por exemplo (0,k) para simplificar) a \(r\).
Dito isto, tudo o temos que fazer é determinar \(k_1\) e \(k_2\) tais que \(\langle (1/\sqrt{5},2/\sqrt{5});(2,k_1)\rangle =3\) e \(\langle (1/\sqrt{5},2/\sqrt{5});(2,k_2)\rangle =-3\). O resto é fazer contas.

Nota: \(\langle \cdot ; \cdot \rangle\) designa o produto interno de dois vetores, ou seja \(\langle (a,b);(c,d)\rangle=ac+bd\)

a resolução que se segue está correta?
x + 2y + 2 = 0

3 = |x' + 2y' + 2| / √(1+4) ==>> 3√5 = |x' + 2y' + 2|

Tive que reeditar a resposta anterior pois encontrei um erro na fórmula para calcular a distância de um ponto à reta \(r\). A fórmula que estava antes só funcionaria se \(r\) passasse pela origem.