hiperbole achando as interseções da cirunferencia com a reta

[GustavoPalma]

Considere a circunferência C: (x - 10)² + (y - 10)² = (10 + 6)² e a reta r definida pela equação r: x = 10 + 4
y = t
Encontre a equação paramétrica e cartesiana da hipérbole cujos focos são as interseções entre C e r, cuja
excentricidade vale 4

[jorgeluis]

Equação Reduzida da Circunferência C:
\(C: (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\)
comparando,
\(C: (x - 10)^2 + (y - 10)^2 = (10 + 6)^2\)

centro da circunferência: \(C(x_0, y_0) = C(10, 10)\)

Equação Geral da Circunferência C:
\(C: x^2+y^2+ax+by+c=0\)
comparando,
\(C: x^2+y^2-20x-20y-56=0\)

Equação Geral da Reta r:
\(r: ax+by+c=0\)
se,
\(x=10+4
y=t\)
então,
\(r: 14a+tb+c=0\)

fazendo a interseção entre as equações \(C\cap r={0}\):
\(C: x(x-20)+y(y-20)-56={0}
r: 14a+tb+c={0}\)

temos,
\(a=(x-20)
b=(y-20)
c=-56\)

como,
\(\varepsilon =4
e,
\varepsilon =\frac{c}{a}
entao,
4 =\frac{-56}{a}
a=-14\)

\(b^2=c^2-a^2
b=14\sqrt{15}\)

Equações Paramétricas da Hipérbole com centro no centro da circunferência \(C(x_0, y_0)\) e focos \(f_1(0,-c)\) e \(f_2(0,c)\) no eixo nas ordenadas \((b>a)\):

\(x=a.tg \theta + x_0
x=10-14.tg \theta\)

\(y=b.sec \theta + y_0
y=10+14\sqrt{15}.sec \theta\)

Equação Cartesiana da Hipérbole com centro no centro da circunferência \(C(x_0, y_0)\) e focos \(f_1(0,-c)\) e \(f_2(0,c)\) no eixo nas ordenadas \((b>a)\):

\(\frac{(y-y_0)^2}{a^2} - \frac{(x-x_0)^2}{b^2}=1
\frac{(y-10)^2}{(-14)^2} - \frac{(x-10)^2}{(14\sqrt{15})^2}=1\)