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| Vetor e área do paralelogramo de vértices em quadrilátero https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=14&t=12167 |
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| Autor: | habakuk.conrado [ 20 dez 2016, 13:14 ] |
| Título da Pergunta: | Vetor e área do paralelogramo de vértices em quadrilátero |
Calcule a área do paralelogramo cujos vértices são pontos médios dos lados do quadrilátero ABCD, sendo A(0,1), B(-4,-1), C(5,-3) e D(7,0). Essa questão é parte do conteúdo de produto escalar e projeção ortogonal de um vetor sobre outro. Peço, por favor, que não use assuntos superiores a esses pra responder. Muito obrigado. 
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| Autor: | Fraol [ 28 dez 2016, 19:33 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Vetor e área do paralelogramo de vértices em quadrilátero |
Boa tarde, Vou esboçar os passos da solução e você tenta os cálculos. Anexei uma figura ilustrativa com a indicação dos pontos originais, dos pontos médios e dos vetores que podem ser usados para o cálculo da área. Anexo: paralelog-vetores.png [ 22.45 KiB | Visualizado 4080 vezes ] A área do paralelogramo será dada pelo produto do módulo do vetor \(\vec{u}\) pela altura \(h\). Isto é: \(A = |\vec{u}|h\) e sabemos, da Trigonometria, que \(h = |\vec{v}|sen(\alpha)\). Logo \(A = |\vec{u}|.|\vec{v}|sen(\alpha)\) O seno do ângulo pode ser obtido por \(sen(\alpha) = \sqrt{1-cos^2(\alpha)}=\sqrt{1- \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|.|\vec{v}|} \right)^2 }\) cujo numerador da fração debaixo da raiz é o produto escalar dos vetores \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\). Assim a área será dada por: \(A = |\vec{u}|.|\vec{v}|\sqrt{1- \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|.|\vec{v}|} \right)^2 }\) Agora é apenas uma questão de fazer as contas. |
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