Enunciado na imagem
| Anexos: |
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Comentário do Ficheiro: Enunciado: 2.png [ 20.57 KiB | Visualizado 5225 vezes ] |
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| Considere a reta e o plano e determine: https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=14&t=12198 |
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| Autor: | leilaapsilva [ 08 jan 2017, 16:03 ] | ||
| Título da Pergunta: | Considere a reta e o plano e determine: | ||
Enunciado na imagem
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| Autor: | leilaapsilva [ 10 jan 2017, 03:59 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Considere a reta e o plano e determine: |
Alguém pode me dar uma luz de como resolver? Já pesquisei e li o livro e não entendi... |
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| Autor: | MaoMorta [ 11 jan 2017, 11:43 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Considere a reta e o plano e determine: |
Anexo: Mat_41.png [ 124.3 KiB | Visualizado 5204 vezes ] A resposta " a) Verifique " pode ser auxiliada com esta imagem. Os pontos da reta foram calculados a partir de x = 1 para o ponto P1 e x = 2 para o ponto P2. A partir destes pontos já podemos o vetor diretor da reta R. O vetor diretor do plano é tirado diretamente da equação do plano : X - Z + 1 = 0 ,ou seja, V = (1,0,-1), repare que o plano tem o valor de Y = 0, esta horizontal. Ambos os vetores tem direções diferentes ( o da reta e o do plano ), portanto não são paralelos...são transversais. Falta determinar o ponto de interceção da reta com o plano, matematicamente, claro, pois se olharmos para a imagem, é logico que já sabemos que ele lá esta. Até. |
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| Autor: | MaoMorta [ 11 jan 2017, 12:31 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Considere a reta e o plano e determine: |
Ainda referente a "a) Verifique..." : Matematicamente utilizamos o produto escalar de dois vetores livres, isto é, de P1P2 e Q1Q2 para saber se os vetores são ou não paralelos. K( é o escalar) = P1P2 . Q1Q2 = (1, 2, -2 ) . ( 1, 0, -1 ) = 1*1 + 2*0 + (-2)*(-1) = 1 + 0 + 2 = 3, portanto o escalar K = 3. Como sabemos que o valor deste escalar corresponde a dois vetores transversais ou paralelos ? Calculando o valor do angulo feito pelos dois vetores, isto é : K = | P1P2 | . | Q1Q2 | . COS( alfa ), com | P1P2 | = \(sqrt( 1^2 + 2^2 + 2^2 )\) e | Q1Q2 | = \(sqrt( 1^2 + 0^2 + (-1)^2 )\). Então 3 = 3 * \(sqrt( 2 )\) * COS( alfa ) , ou seja, COS( alfa ) = 1 / \(sqrt( 2 )\) = \(sqrt( 2 ) / 2\) Temos portanto alfa = ArcCOS ( \(sqrt( 2 ) / 2\) = 45º , isto é, a reta faz um angulo de 45º com o plano, logo não é paralela, é transversal. Até. |
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| Autor: | MaoMorta [ 11 jan 2017, 13:00 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Considere a reta e o plano e determine: |
O resto de "a) Verifique..." Para sabermos onde a reta R interceta o plano Pi, só temos que fazer a intersecção das duas equações disponíveis : equação da reta \(X + 1 = - Y / 2\) = \(- Y / 2 = ( Z + 1 ) / 2\) isto é : \(X = ( Y + 2 ) / 2\) \(Y = - Z - 1\) \(Z = -2*X + 1\) com a equação do plano X - Z + 1 = 0 ou 1X +0Y- Z + 1 = 0 porque lhe falta Y = 0 isto é : \(Y = 0\) e \(X = Z - 1\) Resolvendo esta interseção de equações temos : Y =0, X = 1, Z = -1 que nos dá um ponto P1 = ( 1, 0, -1) que é exatamente o ponto P1 que existente no plano horizontal mostrado na figura dos eixo XYZ. Até. |
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| Autor: | Sobolev [ 11 jan 2017, 13:19 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Considere a reta e o plano e determine: |
Apenas um comentário, o ângulo determinado foi o formado entre a recta e uma direcção perpendicular ao plano. Como neste caso esse ângulo é de 45º, ele coincide com o valor do ângulo formado entre a recta e o plano. |
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| Autor: | MaoMorta [ 11 jan 2017, 15:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Considere a reta e o plano e determine: |
Não...não! O angulo determinado é o angulo formado entre os dois vetores diretores, o da reta e o do plano. Utiliza-se a formula K (escalar) = (vetordiretorReta . vetordiretorPlano ) para determinar o escalar de dois vetores. E a formula K = |vetordiretorReta|*|vetordiretorPlano| * cos (alfa) para determinar o angulo. Quando te referistes à "perpendicular" ao plano...para calculares esse angulo ( chamamos-lhe beta ) deves fazer beta = 90º - alfa, ou beta (radianos)= Pi/2 - alfa( radianos), esta bem? Sabes fazer o produto escalar entre dois vetores ? Dicas : v = (a1,b1,c1) u =(a2,b2,c2) K =(a1,b1,c1,).(a2,b2,c2) = a1*a2 + b1*b2 + c1*c2 Sabes calcular a grandeza de um vetor ? Dica : |vetordiretor| = sqrt ( a1^2 + b1^2 + c1^2 ) Ainda falta responder a c) ... mais tarde! Até. |
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| Autor: | Sobolev [ 11 jan 2017, 15:46 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Considere a reta e o plano e determine: |
O vector director do plano é perpendicular ao plano, por isso, quando calculamos o ângulo \(\alpha\) formado entre os vectores directores do plano e da recta, não estamos a calcular o angulo formado entre o plano e a recta, que é realmente \(\beta = 90-\alpha\). No entanto, neste exemplo, \(\alpha = \beta\), o que nos pode confundir reletivamente ao que seria necessário calcular num caso mais geral. |
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| Autor: | MaoMorta [ 11 jan 2017, 16:16 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Considere a reta e o plano e determine: |
Anexo:
Comentário do Ficheiro: Para a pergunta c) temos : Mat_411.png [ 201.32 KiB | Visualizado 5195 vezes ] A verde temos a projeção ortogonal da reta R sobre o plano P, ou seja a reta Si, como se fosse uma sombra, tudo igual excepto que esta pertence ao plano Pi ( o plano Pi contém a reta s ). Vamos, então, calcular! |
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| Autor: | MaoMorta [ 11 jan 2017, 21:01 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Considere a reta e o plano e determine: |
Sobolev, foi engano meu a avaliar o vetor tirado diretamente da equação do plano. O seu comentário esta correto. Anexo: Mat_4_12.png [ 164.35 KiB | Visualizado 5188 vezes ] Pelo que a resposta ao seu comentário é : Sim ...sim! O angulo determinado é o angulo formado entre os dois vetores diretores, o da reta e o da perpendicular ao plano. Utiliza-se a formula K (escalar) = (vetordiretorReta . vetordiretorPlano ) para determinar o escalar de dois vetores. E a formula K = |vetordiretorReta|*|vetordiretordaperpendicularPlano| * cos (alfa) para determinar o angulo. O angulo beta = 90º - alfa ou beta (radianos)= Pi/2 - alfa( radianos). E sim...eles são ambos 45º, neste caso. Novamente, tem razão no seu comentário. Até. |
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