Bom dia!

Para calcular a distância entre as retas, precisa entender como classificá-las de forma a não restar dúvida que exista mesmo algo a ser calculado.
As retas concorrentes e as retas coincidentes não apresentam distância entre si (concorrentes apresentam um único ponto comum e as coincidentes, bem, são basicamente ambas a mesma reta )
Já as retas paralelas e as retas reversas apresentam distância entre si. A diferença entre ambas é que as paralelas estão contidas em um plano e as reversas não existe um único plano que as contenha.
Ufa! Vamos então primeiro tentar entender como classificar:

\(r_1:\{\begin{matrix}x&=&-1&+&t\\y&=&2&+&3t\\z&=&&&t\end{matrix}\)
e
\(r_2:\{\begin{matrix}x&=&1&+&\dfrac{1}{3}s\\y&=&2&+&s\\z&=&&&s\end{matrix}\)

Destas retas podemos obter rapidamente um vetor diretor de ambas. Se estes vetores forem paralelos, a classificação já fica entre retas paralelas ou coincidentes. Caso contrário, fica entre concorrentes ou reversas.
Vejamos:
Da reta r1, vetor obtido pelos coeficientes que multiplicam os termos independentes t:
\(\vec{d_1}=(1,3,1)=\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k}\)

Da reta r2, vetor obtido pelos coeficientes que multiplicam os termos independentes s:
\(\vec{d_2}=\left(\frac{1}{3},1,1\right)=\frac{1}{3}\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}\)

Para dois vetores serem 'paralelos' basta que sejam proporcionais entre si. Facilmente vemos que não é o caso destes, portanto, estes vetores não são paralelos.

Agora, resta saber se as retas são concorrentes ou se são reversas. Se forem concorrentes, sua distância é nula. Se forem reversas, existe uma distância entre elas.

Para tal, podemos tomar um ponto de cada reta, e formar um vetor.
Da reta r1:
\(P_1(-1,2,0)\)

Da reta r2:
\(P_2(1,2,0)\)

E montaremos um vetor \(\vec{P_1P_2}\)
\(\vec{P_1P_2}=P_2-P_1=(1,2,0)-(-1,2,0)=(2,0,0)\)

Se fizermos o produto misto entre os 3 vetores já poderemos descobrir a classificação final.
\(\left[\vec{d_1},\vec{d_2},\vec{P_1P_2}\right]=\left|\begin{matrix}1&3&1\\\dfrac{1}{3}&1&1\\2&0&0\end{matrix}\right|=6-2=4\)

Se este produto entrega um valor, as retas são reversas. Se fosse nulo, seriam concorrentes.
Outro método seria tentar encontrar um valor de t e de s que satisfizesse ambas as retas, ou seja, procurar por um ponto comum. Neste caso, não conseguiria, pois as retas são reversas.

Agora, para calcular a distância entre as retas (reversas):
Basta, agora que temos o vetor \(\vec{P_1P_2}\), calcular a projeção ortogonal deste sobre o vetor obtido pelo produto vetorial entre os vetores diretores das retas. Este último vetor será um vetor ortogonal a ambas as retas. Bastaria encontrar a projeção do vetor \(\vec{P_1P_2}\) sobre este e teremos a distância entre as retas:
Calculando o vetor do produto vetorial:
\(\vec{n}=\vec{d_1}\times\vec{d_2}=\left|\begin{matrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&3&1\\\dfrac{1}{3}&1&1\end{matrix}\right|=2\vec{i}-\dfrac{2}{3}\vec{j}+0\vec{k}=\left(2,-\frac{2}{3},0\right)\)

Agora, calculando a projeção sobre este:
\(d=\dfrac{\vec{P_1P_2}\cdot\vec{n}}{\left\|\vec{n}\right\|}=\dfrac{(2,0,0)\cdot\left(2,-\frac{2}{3},0\right)}{\sqrt{2^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2}+0^2}=\dfrac{4}{\sqrt{4+\frac{4}{9}}}=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}\)

Espero ter ajudado!!!