Menor distância entre a bola e o plano do gol?

[lais1234]

Em um jogo de futebol virtual, uma bola está posicionada na posição Q=(x0,y0,z0)=(-14,-8,6) do espaço. Considerando que as traves verticais do gol começa no ponto A=(-2,1-4) e termina no ponto B=(-7,-3,-2), e o travessão começa no ponto B e termina no ponto C=(-1, 0, -5), qual a menor distância existente entre a bola e o plano do gol?

[jorgeluis]

se,
\(Q(-14,-8,6)
A(-2,1,-4)
B(-7,-3,-2)
C(-1,0,-5)
A,B,C \in \pi
\vec{AB}=(-5,-4,2)
\vec{AC}=(1,-1,-1)
\vec{n}=\left \| \vec{AB}\Lambda \vec{AC} \right \|
\left \| \vec{AB}\Lambda \vec{AC} \right \|=6i-3j+9k
\vec{n}=(6,-3,9)\)
\(\pi:\left \{ 6x-3y+9z+d=0 \right.\)
substituindo as coordenadas (x,y,z) por um ponto do plano C(-1,0,-5), achamos:
\(d=51\)

\(d_{(Q,\pi)}=\frac{\left | 6.(-14)-3.(-8)+9.(6)+51 \right |}{\sqrt{6^2+3^2+9^2}\)
\(d_{(Q,\pi)}=\frac{\left | 45 \right |}{\sqrt{126}\)