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Ponto de interseção entre a reta e o plano
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Autor:  lais1234 [ 30 nov 2017, 23:50 ]
Título da Pergunta:  Ponto de interseção entre a reta e o plano
Um personagem de um jogo 3D caminha em linha reta por meio da equação:
R: Y=(1,3,5) + μ(-2,-2,4)
Considerando o fato de que o plano da parede do cenário do jogo pode ser representada pelos vertices P=(1,-1,0), Q=(5,2,1) e T=(4,3,7) e sabendo -se que o personagem encontra-se inicialmente localizado no ponto de referência (X0,Y0,Z0) da reta R, verifique se existe interseção entre a reta e o plano. Em caso afirmativo, determine o ponto de interseção.
Autor:  Fraol [ 30 dez 2017, 20:28 ]
Título da Pergunta:  Re: Ponto de interseção entre a reta e o plano
Vamos lá:

Um ponto genérico \(Y\) da reta será: \(Y = (1-2\mu, 3-2\mu, 5+4\mu)\).

Para o plano, chamemos de \(\Pi\), usando \(P\) como ponto de referência e os vetores \(\vec{u} = Q-P\) e \(\vec{v} = T-P\), a equação vetorial será: \(\Pi: X = P + \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}\).

\(\vec{u}=Q-P=(4,3,1)\) e \(\vec{v}=T-P=(3,4,7)\)

Assim teremos \(\Pi: X = (1,-1,0) + \alpha (4,3,1) + \beta (3,4,7)\).

Então, um ponto genérico \(X\) do plano será: \(X = (1+4\alpha+3\beta, -1+3\alpha+4\beta, 0+\alpha+7\beta)\).

Se existir a interseção entre a reta e o plano, ela ocorrerá quanto \(X = Y\), isto é:

\((1+4\alpha+3\beta, -1+3\alpha+4\beta, 0+\alpha+7\beta) = (1-2\mu, 3-2\mu, 5+4\mu)\)

Ou seja basta resolvermos o sistema:

\(4\alpha + 3\beta + 2\mu = 0 \\
3\alpha + 7\beta + 2\mu = 4 \\
\alpha + 7\beta -4\mu = 5\)

Cuja solução, se não errei as contas é: \(X = Y = (-\frac{47}{22}, \frac{41}{22}, \frac{65}{44})\).
Autor:  jorgeluis [ 31 dez 2017, 14:13 ]
Título da Pergunta:  Re: Ponto de interseção entre a reta e o plano
lais,
para verificar se uma reta intercepta um plano, basta verificar que ela NÃO é paralela. Ou seja:
\(r//\pi\Leftrightarrow r\cap \pi=0\)
podemos verificar se ela é paralela, observando a proporcionalidade entre o vetor normal do plano e o vetor diretor da reta:
\(\frac{\vec{n_{\pi}}}{\vec{v_r}}=k
[tex]\frac{a_{\pi}}{a_r} = \frac{b_{\pi}}{b_r} = \frac{c_{\pi}}{c_r}=k\)

achando a equação do plano através dos pontos P,Q,T:

\(P(1,-1,0)
Q(5,2,1)
T(4,3,7)
\vec{PQ}=(4,3,1)
\vec{PT}=(3,4,7)\)

\(\left \| \vec{PQ} \times \vec{PT} \right \|=\begin{Vmatrix}
i & j & k\\
4 & 3 & 1\\
3 & 4 & 7
\end{Vmatrix}\)

\(\left \| \vec{PQ} \times \vec{PT} \right \|=17i-25j+7k\)

\(\vec{n_{\pi}}=(17,-25,7)\)

como,
\(\vec{v_r}=(-2,-2,4)\)
entao,
\(\frac{a_{\pi}}{a_r} \neq \frac{b_{\pi}}{b_r} \neq \frac{c_{\pi}}{c_r}
\frac{17}{-2} \neq \frac{-25}{-2} \neq \frac{7}{4}\)
logo,
\(r\cap \pi=P(x_0,y_0,z_0)\)


\(\pi:\left \{ 17x-25y+7z+d=0 \right.\)
substituindo o ponto P(1,-1,0) na equação, achamos:
\(d={-42}\)
logo,
\(\pi:\left \{ 17x-25y+7z-42=0 \right.\)

agora, substituindo o ponto generico de interseção \(Y(1-2\mu, 3-2\mu, 5+4\mu)\) da equação vetorial da reta na equação do plano, teremos:
\(\pi:\left \{ 17x-25y+7z-42=0 \right.
17(1-2\mu)-25(3-2\mu)+7(5+4\mu)-42=0
\mu=\frac{65}{44}\)

Assim,
\(x=1-2\mu
x=\frac{-43}{22}\)

\(y=3-2\mu
y=\frac{1}{22}\)

\(z=5+4\mu
z=\frac{120}{11}\)

\(r\cap \pi=P(x_0,y_0,z_0)\)
\(r\cap \pi =P\left ( \frac{-43}{22}, \frac{1}{22}, \frac{120}{11} \right )\)
Autor:  Fraol [ 02 jan 2018, 18:12 ]
Título da Pergunta:  Re: Ponto de interseção entre a reta e o plano
Boa tarde, bom ano a todos!

Vendo a solução do jorgeluis, percebo que algo não vai bem no reino da Matemática.

Ou ele ou eu erramos no desenvolvimento ou nas contas ...
Autor:  Fraol [ 02 jan 2018, 18:28 ]
Título da Pergunta:  Re: Ponto de interseção entre a reta e o plano
O meu erro está lá no finalzinho:

Onde está escrito:
Fraol Escreveu:
Cuja solução, se não errei as contas é: \(X = Y = (-\frac{47}{22}, \frac{41}{22}, \frac{65}{44})\).

Leia-se:

Cuja solução (do sistema), se não errei as contas é: \((\alpha, \beta, \mu) = (-\frac{47}{22}, \frac{41}{22}, \frac{65}{44})\).

E agora podemos substituir estes valores na expressão de \(X\) ou de \(Y\). Fazendo as contas certas, teremos:

(agora sim)
\(X=Y=(-\frac{43}{22}, \frac{1}{22}, \frac{240}{22})\).

No caso da solução do jorgeluis até o cálculo de:

jorgeluis Escreveu:
\(\pi:\left \{ 17x-25y+7z-42=0 \right.
17(1-2u)-25(3-2u)+7(5+4u)-42=0
u=\frac{65}{64}\)

está ok. Daí pra baixo precisa acertar as contas - que as respostas coincidirão.
Autor:  jorgeluis [ 03 jan 2018, 14:03 ]
Título da Pergunta:  Re: Ponto de interseção entre a reta e o plano
Fraol,
na verdade nosso erro estava no valor de \(\mu\).
conferindo nossos desenvolvimentos verifiquei que:
\(\mu =\frac{65}{44}\)
logo,
\(r \cap \pi=P(x_0,y_0,z_0)
r \cap \pi=P\left ( \frac{-43}{22},\frac{1}{22},\frac{120}{11} \right )\)

já corrigi!
Autor:  Fraol [ 03 jan 2018, 17:46 ]
Título da Pergunta:  Re: Ponto de interseção entre a reta e o plano
Oi jorgeluis,

Os \(\mu\) já estavam certos antes.

Tem um outro "probleminha" no seu desenvolvimento que refere-se ao vetor normal da reta - o vetor dado no problema é o vetor diretor da reta. Não afetou a resposta por causa do conjunto de dados do problema. Poderia ter se tornado um "problemão".

Mas a discussão é que mais vale. Essas iterações são importantes. Por isso encorajo os membros do fórum a participarem das discussões dos tópicos ora para tratar de divergências, ora para a proposição de soluções alternativas. E o que mais for conveniente.

Vejam o didatismo da discussão desse tópico:

Um colaborador solucionou o problema por meio das equações vetoriais do plano e da reta (que foi dada), necessitou-se ainda da resolução de um sistema linear.

Outro colaborador usou um produto vetorial para encontrar o vetor normal ao plano e daí a equação do mesmo e chegou à resposta por meio da substituição de um ponto da reta na equação encontrada.

E olhe, que há outros caminhos possíveis para resolver o problema.

Então pessoal, por favor, participem das discussões!
Autor:  jorgeluis [ 04 jan 2018, 15:12 ]
Título da Pergunta:  Re: Ponto de interseção entre a reta e o plano
Bem postado Fraol, estou de acordo!
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