Demonstre que MN é igual à semi-soma ou à semi-diferença dos segmentos AB e BC

[menino]

Dados três pontos A,B,C sobre uma mesma reta, consideremos M e N os pontos médios dos segmentos AB e BC. Demonstre que MN é igual à semi-soma ou à semi-diferença dos segmentos AB e BC.

[jorgeluis]

menino,
seja,
\(A(x_0,y_0)
B(x_1,y_1)
C(x_2,y_2)
M(\frac{x_0+x_1}{2},\frac{y_0+y_1}{2})
N(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})\)

\(MN(\frac{x_1+x_2}{2}-\frac{x_0+x_1}{2},\frac{y_1+y_2}{2}-\frac{y_0+y_1}{2})
MN(\frac{x_2-x_0}{2},\frac{y_2-y_0}{2})\)

\(AB(x_1-x_0,y_1-y_0)
BC(x_2-x_1,y_2-y_1)\)

\(\frac{AB+BC}{2}=(\frac{x_2-x_0}{2},\frac{y_2-y_0}{2})\)

CONCLUSÃO:
\(MN=\frac{AB+BC}{2}\)