Descobrir um ponto que esteja a x graus de um reta

[GamerVSL]

Bom dia,

estou com dificuldade em montar um fórmula. Eu possuo 2 pontos (x0, y0) e (x1, y1) e um ângulo (xº), a partir dessas informações preciso calcular um terceiro ponto que esteja a x graus dos 2 anteriores. É possível fazer isso? Agradeço a atenção.

[GamerVSL]

O problema é mais ou menos assim https://servimg.com/view/19866823/2

[PierreQuadrado]

Existem muitas formas de obter esse terceiro ponto... Temos que fazer algumas especificações adicionais, por exemplo considerar que o terceiro ponto fica sobre a mediatriz do segmento que une os dois primeiros pontos. Movendo o terceiro ponto sobre a mediatriz consegue obter qualquer ângulo entre 0 e 180º. Para obter um ângulo x, tem que considerar um ponto da mediatriz cuja distância ao ponto médio dos dois pontos iniciais seja \(h = \frac{d}{2 \tan (x/2)}\), onde d é a distância entre os dois pontos iniciais. Faça o desenho e observe os triângulos retângulos que se formam. Como estes dados é fácil calcular as coordenadas.

[Fraol]

Como o PierreQuadrado escreveu, existem várias formas.

Vamos chamar os pontos dados de \(A\) e \(B\).

Para encontrar um ponto \(C=(x_C , y_C)\) que esteja à mesma distância que \(B\) está de \(A\), você pode proceder assim:

Determine o vetor \(u=AB\) = \(B-A = (x_1-x_0, y_1-y_0) = = (x_u, y_u)\).

Agora gire esse vetor no sentido anti-horário de um ângulo \(\theta\), assim:

Multiplique a matriz:

\(\begin{bmatrix}
cos(\theta) & -sen(\theta) \\
sen(\theta) & cos(\theta)
\end{bmatrix}\)

pelo vetor \(u\), na forma de coluna:

\(\begin{bmatrix}
x_u \\ y_u
\end{bmatrix}\)

A resposta é o ponto \(C=(x_C, y_C)\).

Esse procedimento é genérico, serve para qualquer par de pontos dados.

Para usar pontos cuja distância varie, basta observar que \(AC\) é um vetor diretor de da reta que passa por \(A\) e \(C\).

[Fraol]

Vamos usar um caso concreto:

Suponha \(A=(1,2)\), \(B=(4,3)\) e o ângulo \(\theta = 30^o\)

\(u = B-A = (3, 1)\)

Vamos multiplicar a matriz:

\(\begin{bmatrix}
cos(30^o) & -sen(30^o) \\
sen(\30^o) & cos(30^o)
\end{bmatrix}\)

que é igual a:

\(\begin{bmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{bmatrix}\)

pelo vetor \(u\), na forma de coluna:

\(\begin{bmatrix}
3 \\ 1
\end{bmatrix}\)

Isso será igual a:

\(\begin{bmatrix}
\frac{3\sqrt{3}-1}{2} \\
\frac{3+\sqrt{3}}{2}
\end{bmatrix}\)

A resposta é o ponto \(C=(x_C, y_C) \simeq (2.10 , 2.37)\).