Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Ache todas as retas que passam pelo ponto (1,−2, 3) e que formam angulos de 45 e 60 com os eixos x
e y respectivamente.

Seja \(\vec{v} = (a,b,c)\) vetor diretor da reta procurada que chamemos de r.Temos que ,

\(r : (x,y,z) = (1,-2,3) + \delta \vec{v} , (\delta \in \mathbb{R} )\) .

OBS_1.: A escolha da norma do vetor \(\vec{v}\) é arbitrário , concorda ? podemos tomar por exemplo \(||\vec{v}|| = 3\) (fique à vontade quanto a escolha ) (1) .

OBS_2 . Se todas possíveis retas r formam ângulos de 45 e 60 com os eixos x
e y respectivamente.

Então teremos que \(1/2 = \frac{| \vec{v}\cdot \vec{i} |}{||\vec{v}||||\vec{i}|| }\) (2) e

\(\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{| \vec{v} \cdot \vec{j} |}{||\vec{v}||||\vec{j}|| }\) (3)

Temos 3 equações p/ 3 incógnitas . Consegue terminar ?

Qualquer dúvida ,retorne!

Desculpe , na verdade é :

\(\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{| \vec{v} \cdot \vec{i} | }{ ||\vec{v} || ||\vec{i} ||}\) (2)


e \(\frac{1}{2} =\frac{| \vec{v} \cdot \vec{j} | }{ ||\vec{v} || ||\vec{j} ||}\) (3)

desculpe mas nao consegui terminar a conta, e pq podemos adotar qualquer valor para norma de v?

Veja só ,suponhamos que \(\vec{v} = (a,b,c)\) seja vetor diretor de alguma reta .

Concorda que qualquer vetor paralelo a \(vec{v}\) também será vetor diretor da reta em questão .Sendo assim dado um vetor \(\vec{u}\) que possui a mesma direção de \(\vec{v}\) teremos que ,


\(\vec{u} = \alpha \cdot \vec{v}\) para algum \(\alpha \neq 0\) .


Tomando-se \(\alpha = 1/||\vec{v}||\) , \(\vec{u}\) será unitário ,i.e, \(||\vec{u} || = 1\) .
Acontece que dado outro vetor \(\vec{w}\) paralelo a \(\vec{u}\) ,o mesmo será também diretor da reta em questão .

Deste modo , \(\vec{w} = \frac{\gamma}{||\vec{v} ||} \vec{v}\) para \(\gamma \neq 0\) .

Note que , \(|| \vec{w}|| = |\gamma |\) .Isto mostra que a escolha da norma do vetor diretor da reta é arbitrária . OK ?

Quanto ao exercício , pelo enunciado temos :

( OBS.: Vou fixar norma de \(||\vec{v}||\) arbitrariamente , \(||\vec{v}|| = k\) para algum k positivo ,fique à vontade quanto a escolha )

\(\begin{cases}cos(45^{\circ}) = \frac{|\vec{i} \cdot \vec{v}|}{||\vec{v}||||\vec{i}||} \\ cos(60^{\circ}) = \frac{|\vec{j} \cdot \vec{v}|}{||\vec{v}||||\vec{j}||} \\ a^2 + b^2 + c^2 = k^2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{|a|}{k} \\ \frac{1}{2} = \frac{|b|}{k} \\ a^2 + b^2 + c^2 = k^2\end{cases}\)

Substituindo \(a\) e \(b\) na terceira equação ,

\(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}k \right ) ^2 + \left(\frac{k}{2} \right ) ^2 + c^2 = k^2 \Leftrightarrow c^2 = k^2 - \frac{k^2}{4} - \frac{k^2}{2} \Leftrightarrow c^2 = \frac{k^2}{4}\)

Portanto , \(C = \pm k/2\) .

Assim \((\pm \frac{\sqrt{2}}{2}k , \pm \frac{k}{2}, \pm \frac{k}{2})\) será os vetores diretores de norma k da reta procurada.

Concluímos então que as equações da reta que passa pelo ponto \((1,-2,3)\) na forma vetorial será :

\((x,y,z) = (1,-2, 3) + t(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}k , \pm \frac{k}{2}, \pm \frac{k}{2}) (t\in \mathbb{R} )\)

Obrigado, agora ficou mais claro