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| Ângulos entre retas https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=14&t=1786 |
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| Autor: | Pacola [ 12 fev 2013, 18:22 ] |
| Título da Pergunta: | Ângulos entre retas |
Ache todas as retas que passam pelo ponto (1,−2, 3) e que formam angulos de 45 e 60 com os eixos x e y respectivamente. |
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| Autor: | santhiago [ 12 fev 2013, 21:25 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Ângulos entre retas |
Seja \(\vec{v} = (a,b,c)\) vetor diretor da reta procurada que chamemos de r.Temos que , \(r : (x,y,z) = (1,-2,3) + \delta \vec{v} , (\delta \in \mathbb{R} )\) . OBS_1.: A escolha da norma do vetor \(\vec{v}\) é arbitrário , concorda ? podemos tomar por exemplo \(||\vec{v}|| = 3\) (fique à vontade quanto a escolha ) (1) . OBS_2 . Se todas possíveis retas r formam ângulos de 45 e 60 com os eixos x e y respectivamente. Então teremos que \(1/2 = \frac{| \vec{v}\cdot \vec{i} |}{||\vec{v}||||\vec{i}|| }\) (2) e \(\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{| \vec{v} \cdot \vec{j} |}{||\vec{v}||||\vec{j}|| }\) (3) Temos 3 equações p/ 3 incógnitas . Consegue terminar ? Qualquer dúvida ,retorne! |
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| Autor: | santhiago [ 12 fev 2013, 21:40 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Ângulos entre retas |
Desculpe , na verdade é : \(\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{| \vec{v} \cdot \vec{i} | }{ ||\vec{v} || ||\vec{i} ||}\) (2) e \(\frac{1}{2} =\frac{| \vec{v} \cdot \vec{j} | }{ ||\vec{v} || ||\vec{j} ||}\) (3) |
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| Autor: | Pacola [ 17 fev 2013, 18:07 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Ângulos entre retas |
desculpe mas nao consegui terminar a conta, e pq podemos adotar qualquer valor para norma de v? |
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| Autor: | santhiago [ 17 fev 2013, 19:29 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Ângulos entre retas |
Veja só ,suponhamos que \(\vec{v} = (a,b,c)\) seja vetor diretor de alguma reta . Concorda que qualquer vetor paralelo a \(vec{v}\) também será vetor diretor da reta em questão .Sendo assim dado um vetor \(\vec{u}\) que possui a mesma direção de \(\vec{v}\) teremos que , \(\vec{u} = \alpha \cdot \vec{v}\) para algum \(\alpha \neq 0\) . Tomando-se \(\alpha = 1/||\vec{v}||\) , \(\vec{u}\) será unitário ,i.e, \(||\vec{u} || = 1\) . Acontece que dado outro vetor \(\vec{w}\) paralelo a \(\vec{u}\) ,o mesmo será também diretor da reta em questão . Deste modo , \(\vec{w} = \frac{\gamma}{||\vec{v} ||} \vec{v}\) para \(\gamma \neq 0\) . Note que , \(|| \vec{w}|| = |\gamma |\) .Isto mostra que a escolha da norma do vetor diretor da reta é arbitrária . OK ? Quanto ao exercício , pelo enunciado temos : ( OBS.: Vou fixar norma de \(||\vec{v}||\) arbitrariamente , \(||\vec{v}|| = k\) para algum k positivo ,fique à vontade quanto a escolha ) \(\begin{cases}cos(45^{\circ}) = \frac{|\vec{i} \cdot \vec{v}|}{||\vec{v}||||\vec{i}||} \\ cos(60^{\circ}) = \frac{|\vec{j} \cdot \vec{v}|}{||\vec{v}||||\vec{j}||} \\ a^2 + b^2 + c^2 = k^2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{|a|}{k} \\ \frac{1}{2} = \frac{|b|}{k} \\ a^2 + b^2 + c^2 = k^2\end{cases}\) Substituindo \(a\) e \(b\) na terceira equação , \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}k \right ) ^2 + \left(\frac{k}{2} \right ) ^2 + c^2 = k^2 \Leftrightarrow c^2 = k^2 - \frac{k^2}{4} - \frac{k^2}{2} \Leftrightarrow c^2 = \frac{k^2}{4}\) Portanto , \(C = \pm k/2\) . Assim \((\pm \frac{\sqrt{2}}{2}k , \pm \frac{k}{2}, \pm \frac{k}{2})\) será os vetores diretores de norma k da reta procurada. Concluímos então que as equações da reta que passa pelo ponto \((1,-2,3)\) na forma vetorial será : \((x,y,z) = (1,-2, 3) + t(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}k , \pm \frac{k}{2}, \pm \frac{k}{2}) (t\in \mathbb{R} )\) |
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| Autor: | Pacola [ 18 fev 2013, 03:05 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Ângulos entre retas |
Obrigado, agora ficou mais claro |
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