Olá
perceba primeiro que a forma geral da equação de uma cônica é dada por : \(Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\), depois da rotação a equação da cônica será dada por \(A_{1}x_{1}^{2}+C_{1}y_{1}^{2}+D_{1}x_{1}+E_{1}y_{1}+F=0\)
Lembre-se tbm, que quando \(A=C\) , temos imediatamente que o ângulo será de \(\theta=45^{o}\), \(F\) é invariante pela rotação.
\(D_{1}\) e \(E_{1}\) são obtidos por : \(\\\\D1=D*cos\theta+E*sen\theta \\\\ E1=-Dsen\theta+E*cos\theta\).
\(A_{1}\) e \(C_{1}\), são obtidos pelo determinante :
\(\begin{vmatrix} A-\lambda & \frac{B}{2}& & \\\frac{B}{2} & C-\lambda & & \\ \end{vmatrix}\)
que irá fornecer a seguinte equação do segundo grau : \(\lambda^{2}-18\lambda+\frac{315}{4}=0\), resolvendo encontramos : \(\lambda=\frac{15}{2}\) e \(\lambda=\frac{21}{2}\), esses serão respectivamente \(A_{1}\) e \(C_{1}\) .
Então vamos montar :
\(\\\\\\ \frac{15}{2}x_{1}^{2}+\frac{21}{2}y_{1}^{2}=5\)
\(\\\\\\ \frac{3}{2}x_{1}^{2}+\frac{21}{10}y_{1}^{2}=1\)
\(\\\\\\ \frac{x_{1}^{2}}{\frac{2}{3}}+\frac{{y_{1}^{2}}}{\frac{10}{21}}=1\)
Aqui vemos que é uma elipse.Favor confira com o gabarito para sabermos se é isto.
abraços, att .
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