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Uma sucessão é crescente ( em sentido estrito) se \(u_{n+1}-u_n > 0\) e é decrescente (em sentido estrito) se \(u_{n+1}-u_n < 0\). Portanto, dada uma sucessão, basta calcular esta diferença e verificar se é positiva (crescente), negativa (decrescente), ou sem sinal fixo (não é monótona).
Por exempo se \(u_n = \frac{n}{n+1}\) temos
\(u_{n+1}-u_n = \frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{n+1)(n+2)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0\)
Assim, conclui que esta sucessão é crescente.
Em relação à convergência, tem que saber calcular limites de sucessões... Se o limite existir e for finito a sucessão diz-se convergente, de outro modo diz-se divergente.
Como \(\lim \frac{n^2}{n^2+1} = 1\) a sucessão diz-se convergente.
Como \(\lim n^2 = +\infty\) a sucessão diz-se divergente.
Veja bem: É realmente importante que leia o que o seu livro de texto diz sobre este assunto. Não vai conseguir compreender todo um capótulo de matéria com base numa versão resumida num post...
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