Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá. Primeiramente, desculpem-me pela minha ausência (e quando apareço, ultimamente tem sido para perguntar). Não vou mais prometer que irei voltar a contribuir com mais frequência, porque nas últimas vezes que fiz isso, não cumpri. De qualquer forma, sem mais delongas, estou com um problema aqui. Se alguém puder ajudar, ficaria muito grato.

Determine para que valores de m a equação \(x^2 + y^2 + 6x - y\sqrt{m} + m = 0\) representa uma circunferência.

Segundo o gabarito, a resposta é
\(0 \leq m < 12\)

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Ciências Econômicas - EPGE/FGV

\(x^2+y^2+6x-\sqrt{m} y + m = 0 \Leftrightarrow
(x+3)^2 - 9 + (y-\frac{\sqrt{m}}{2})^2 - \frac{m}{4}+m=0\Leftrightarrow
(x+3)^2+(y-\frac{\sqrt{m}}{2})^2 = \frac{m}{4}-m+9\)

Devemos por isso ter \(\frac{m}{4}-m+9>0 \Leftrightarrow m < 12\). Como por outro lado devemos ter \(m \ge 0\) para que a expressão inicial estame bem definida, chegamos à resposta que referiu.

Muitíssimo obrigado. Eu tinha chegado até \((x+3)^2+(y-\frac{\sqrt{m}}{2})^2 = \frac{m}{4}-m+9\), só que não sabia prosseguir.

Enfim, mais uma vez, obrigado.

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