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| Determinar a Equação da Circunferência https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=14&t=5558 |
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| Autor: | Jzaiden [ 26 mar 2014, 20:39 ] |
| Título da Pergunta: | Determinar a Equação da Circunferência |
Olá, amigos. Tenho dúvida em mais uma. Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos (2,3) e (-1,1) e tem centro sobre a reta x - 3y = 11 . Já tentei fazer um sistema de 3 equações, mas não deu certo. Algum colega pode dar ao menos algum encaminhamento? Abraços. |
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| Autor: | Fraol [ 27 mar 2014, 00:18 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinar a Equação da Circunferência |
Boa noite, Como o tempo urge, e o meu chefe é escravagista, vou passar os passos que seguiria para uma solução a questão: 1) O Centro da circunferência está sob a reta mediatriz dos dois pontos dados. 2) A equação dessa reta, que é ortogonal ao vetor formado pelos pontos, pode ser encontrada por produto interno. 3) Essa reta intercepta a reta data dita conter o centro da circunferência que é justamente o ponto de intercecção, basta igualar as equações das duas retas. |
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| Autor: | Jzaiden [ 27 mar 2014, 02:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinar a Equação da Circunferência |
fraol Escreveu: Boa noite, Como o tempo urge, e o meu chefe é escravagista, vou passar os passos que seguiria para uma solução a questão: 1) O Centro da circunferência está sob a reta mediatriz dos dois pontos dados. 2) A equação dessa reta, que é ortogonal ao vetor formado pelos pontos, pode ser encontrada por produto interno. 3) Essa reta intercepta a reta data dita conter o centro da circunferência que é justamente o ponto de intercecção, basta igualar as equações das duas retas. Tentarei aqui. Obrigado pela luz. |
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| Autor: | danjr5 [ 12 abr 2014, 23:48 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinar a Equação da Circunferência |
Fiz da seguinte forma: Considere \(A = (2, 3)\), \(B = (- 1, 1)\), \(C = (x_o, y_o)\) e \(r : x - 3y = 11\), onde "C" é o centro; Por conseguinte \(d_{AC} = d_{BC} = r\), \(d_{AC} = d_{BC}\) \(\sqrt{(x_o - 2)^2 + (y_o - 3)^2} = \sqrt{(x_o + 1)^2 + (y_o - 1)^2}\) \(\cancel{(x_o)^2} - 4x_o + 4 + \cancel{(y_o)^2} - 6y_o + 9 = \cancel{(x_o)^2} + 2x_o + 1 + \cancel{(y_o)^2} - 2y_o + 1\) \(4y_o + 6x_o = 11\) Uma vez que \(C \in r\), temos: \(\\ x - 3y = 11 \\\\ x_o - 3y_o = 11\) Ora, resolvendo o sistema \(\begin{cases} 6x_o + 4y_o = 11 \\ x_o - 3y_o = 11 \end{cases}\) encontramos \(\fbox{x_o = \frac{7}{2}}\) e \(\fbox{y_o = - \frac{5}{2}}\) que é o ponto de encontro, isto é, a interseção... Por fim, obtemos o raio: \(d_{AC} = r\) \(\sqrt{(x_o - 2)^2 + (y_o - 3)^2} = r\) \(r = \sqrt{\left (\frac{7}{2} - 2 \right )^2 + \left ( - \frac{5}{2} - 3 \right )^2}\) \(r^2 = \left ( \frac{3}{2} \right )^2 + \left ( - \frac{11}{2} \right )^2\) \(r^2 = \frac{9}{4} + \frac{121}{4}\) \(\fbox{r^2 = \frac{130}{4}}\) Logo, \(\fbox{\fbox{\left ( x - \frac{7}{2} \right )^2 + \left ( y + \frac{5}{2} \right )^2 = \frac{130}{4}}}\) |
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