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Determine, em cada caso, as equações das tangentes a λ traçadas por P:
b) λ: x²+y²-2x+4y+1=0 e P(5,-4)

Bom dia,

Antes de mais, o exercício nada tem a ver com a distância entre o circulo e a recta...

Como a recta passa no ponto (5,-4), se não for vertical, terá equação \(y = m(x-5)-4\), Substituindo na equação da circunferência temos

\(x^2+(m(x-5)-4)^2-2x+4(m(x-5)-4)+1 =\mathrm{0} \Leftrightarrow
m^2 x^2-10 m^2 x+25 m^2-4 m x+20 m+x^2-2 x+1 = \mathrm{0} \Leftrightarrow
(1+m^2)x^2-(10m^2+4m+2)x+(25m^2+20m+1) = \mathrm{0} \Leftrightarrow
x = \frac{(10m^2+4m+2)\pm \sqrt{(10m^2+4m+2)^2-4(1+m^2)(25m^2+20m+1)}}{2(1+m^2)}\)

Para ser um ponto tangente à circunferência, apenas a pode intersectar num único ponto, pelo que a equação anterior apenas pode ter uma solução. Isto acontece apenas se

\((10m^2+4m+2)^2-4(1+m^2)(25m^2+20m+1)=\mathrm{0}\Leftrightarrow
-48 m^2-64 m =\mathrm{0} \Leftrightarrow
m = 0 \vee m =-\frac 43\)

Assim, as equações das rectas tangentes pedidas são:

\(y = -4
y = -\frac 43 (x-5)-4\)