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Determine a distância do ponto \(P(2,1,3)\) ao plano \(x-2y+z=1\)

Não consegui resolver esse exercício, mas o caminho seria projeção? Não encontrei a resposta correta, alguém teria alguma dica?

Analogamente vi um exercício pedindo o seguinte:
Determine a distância do ponto \(P(1,2,-1)\) à reta \(x=1+2t\); \(y=5-t\); \(z=5-3t\), seria da mesma forma que determinar distância de ponto ao plano?

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"O que sabemos é uma gota, o que não sabemos é um oceano." - Isaac Newton

Boas

Meu caro, como pode ver por aqui, terá de fazer a projeção

A normal ao plano é dada no seu caso por \(v=[1,-2,1]\)

Ou seja, \(v\), é o vetor normal ao plano, i.e. faz um ângulo de 90º, ou seja, atravessa o plano perpendicularmente.

Um vetor qualquer \(w\), do plano ao ponto \(P\), é dado por \(w=-[x-2,y-1,z-3]\)

A distância será então no seu caso a projeção de \(w\) em \(v\)

\(D=\left|proj_v W\right|=\frac{|\mathbf{v}.\mathbf{w}|}{|\mathbf{v}|}\)

que simplificando neste caso dá

\(D=\frac{|1.2-2.1+1.3-1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}}\)

Cumprimentos

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João Pimentel Ferreira
 
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Fazer com a projeção seria a mesma coisa que fazer com essa fórmula?

\(d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+d|}{\sqrt[]{a^2+b^2+c^2}}\)

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No outro exemplo que eu explicitei nesse mesmo tópico, em que temos uma equação da reta na forma paramétrica, como faz para jogar na fórmula, se eu não tenho o valor de "d"?

Não consegui resolver

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