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Determine as equações das retas que passam pelo ponto \((2, - 1)\) e formam, cada uma, um ângulo de \(45^o\) com a reta \(2x - 3y + 7 = {0}\).

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Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
RESPONDA A QUEM PRECISA}

Daniel ,já pensou em encontrar o coeficiente angular da reta ??

Por favor faça um desenho .

Suponha que \(tan \theta\) é o coeficiente angular da reta requerida . Seja \(s\) uma reta com tal propriedade e designaremos a reta dada de \(r\) .

Dá hipótese de \(\angle (r,s) = 45^{\circ} \Longrightarrow r \cap s = \{M\}\) . Agora tome \(\{A\}= r \cap O_y\) e \(\{ B \} = s \cap O_y\) . Considere o Ângulo \(\alpha = MAB\) , note que \(\alpha\) é tal que \(tan(\alpha) = 2/3\) (coeficiente angular da reta r)

Do triângulo AMB , o ângulo \(\theta\) corresponde ao Ângulo externo do vértice B e este ângulo por sua vez se exprimir como soma dos outros ângulos internos do triângulo não adjacentes a este ; logo \(\theta = 45^{\circ} + \alpha\) e \(tan(45^{\circ} + \alpha) = \frac{tan(45^{\circ}) + tan( \alpha})}{1-tan(45^{\circ})tan (\alpha))} = \frac{1 + tan \alpha}{1 - tan \alpha } = \frac{1 + 2/3}{1 - 2/3} = 5\) e o coeficiente angular estar determinado .Segue-se que \((x,y) \in s\) sse

\(\frac{y +1}{x - 2} =tan(45^{\circ} + \alpha) = 5\) sse \(y = 5x -11\) .

Agora para determinar a outra reta perpendicular a esta , basta utilizar que o produto entre seus coeficientes angulares vale \(-1\).

Outra proposta de solução:

Considere a reta \(2x-3y+7\) como uma variedade afim do espaço vetorial \(y=\frac{2}{3}x\) (equivale transladar a reta para a origem). Tomemos um vetor qualquer pertencente a este espaço vetorial, digamos (3,2). A transformação linear que rotaciona este vetor em ângulo de \(+45\)
é da forma \(\begin{bmatrix} cos 45 & -sen 45\\ sen 45 & cos 45 \end{bmatrix}\). Então \(\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix}\)=\(\begin{bmatrix} 1\\ 5 \end{bmatrix}\). Este vetor rotacionado tem o mesmo coeficiente angular da reta procurada, ou seja, \(a=5\). Como a reta passa pelo ponto \((2,-1)\), então \(-1=5.2+b\Rightarrow b=-11\). Logo,uma das retas procuradas é \(y=5x-11\). Para encontrar a outra reta, apenas faça uma rotação de -45º.