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| Retas ortogonais e equações paramétricas https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=14&t=7505 |
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| Autor: | esr [ 03 dez 2014, 00:41 ] |
| Título da Pergunta: | Retas ortogonais e equações paramétricas |
Considere a reta r: (x,y,z) = (1,0,1) + t(1,-1,2). Determine uma parametrização de s, uma reta orogonal à r, passando pelo ponto E = (0,1,1). Considerando a solução dada por você, analise se existe um plano contendo as retas r e s. |
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| Autor: | Sobolev [ 04 dez 2014, 11:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Retas ortogonais e equações paramétricas |
Para obter a recta s basta escolher um vector director perpendicular a (1,-1,2), pode tomar por exemplo o vector (1,1,0), já que \((1,-1,2)\cdot (1,1,0) = 1-1+0=\mathrm{0}\). Assim, a recta s será constituída pelos pontos da forma \((x,y,z) = (0,1,1) + u (1,1,0), \quad u \in \mathbb{R}\) Para determinar se estas duas rectas formam um plano basta verificar se estas se intersectam, isto é, se existem \(t,u \in \mathbb{R}\) tais que \((1,0,1) + t(1,-1,2) = (0,1,1)+ u(1,1,0) \Leftrightarrow (1+t,-t, 1+2t) = (u, 1+u, 1)\) Comparando a terceira componente dos dois vectores na última linha, concluímos que devemos ter t=0, comparando agora a primeira componente vemos que se deve ter u=1, mas como estas escolhas impedem a igualdade da segunda componente, concluímos que não existem u,t nas condições requeridas, pelo que as rectas não se intersectam. |
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