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Distância entre duas retas ?
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Autor:  GuilhermeMelo [ 05 fev 2015, 22:46 ]
Título da Pergunta:  Distância entre duas retas ?
Calcular a distância entre duas retas(r,s)

{y=1
r: {x+2=z-4/-2

{x=3
s:{y=2t-1
{z=-t+3

Alguém me ajuda a responder... Estou com dificuldade em achar no ponto da reta r(P1) a abscissa e a cota e também não consigo achar o vetor diretor.
Autor:  Baltuilhe [ 06 fev 2015, 01:42 ]
Título da Pergunta:  Re: Distância entre duas retas ?
Boa noite!

Para calcular a distância entre duas retas a forma mais fácil de se calcular é:
1) Obter um vetor diretor de cada uma das retas;
2) Obter o produto vetorial entre os dois vetores diretores.
3) Tomar um ponto de cada uma das retas e "montar" um vetor com estes pontos;
4) Calcular a norma da projeção ortogonal deste último vetor sobre o produto vetorial obtido no item 2. Esta é a distância entre as duas retas.

1a. reta:
\(r: \left { {y = 1
x+2=\frac {z-4}{-2}\)
Vetor diretor:
\(\vec{d_1}=(1,0,-2)\)

2a. reta:
\(s: \left {x=3
y=2t-1
z=-t+3\)
Vetor diretor:
\(\vec{d_2}=(0,2,-1)\)

Produto vetorial entre os vetores diretores:
\(\vec{n}=\vec{d_1} \times \vec{d_2} = (1,-2,0) \times (0,2,-1)=\begin{pmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 0 & -2\\
0 & 2 & -1
\end{pmatrix}=(4,1,2)\)

Podemos obter dois pontos, um da reta r e outro da s:
\(r: \left { {y = 1
x+2=\frac {z-4}{-2}\)
Arbitrando x=0;
\(x=0
(0+2)(-2)=z-4
z-4=-4
z=0
y=1
P=(0,1,0)\)

Arbitrando t=0;
\(s: \left {x=3
y=2t-1
z=-t+3\)
x=3
y=2(0)-1=-1
z=-(0)+3=3
\(Q=(3,-1,3)\)

Montando o vetor PQ:
\(\vec{PQ}=(3-0,-1-1,3-0)=(3,-2,3)\)

Agora calculando a norma da projeção do vetor PQ sobre o versor de n:
\(||proj_{\vec{n}}\vec{PQ}||=\left | {\frac{\vec{n}.\vec{PQ}}{||\vec{n}||}} \right |=\left | {\frac{(4,1,2).(3,-2,3)}{||(4,1,2)||}} \right |=\left | {\frac{(4)(3)+(1)(-2)+(2)(3)}{\sqrt{4^2+1^2+2^2}}} \right |=\frac{16}{\sqrt {21}}=\frac{16\sqrt {21}}{21}\)

Se eu não errei nenhuma conta, taí!

Espero ter ajudado!
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