Boa tarde!
Dados do problema:
\(||\vec{u}||=||\vec{v}||=X\text{ (*)}\\
\vec{u}\cdot\vec{v}=0\text{ (I)}\\
\vec{w}=\alpha \vec{u} + \beta \vec{v}\text{ (II)}\\
\vec{w}\cdot\vec{u}=\vec{w}\cdot\vec{v}\text{ (III)}\)
Isolando o vetor w na equação (III):
\(\vec{w}\cdot\vec{u}=\vec{w}\cdot\vec{v}\\
\vec{w}\cdot\vec{u}-\vec{w}\cdot\vec{v}=0\\
\vec{w}\cdot(\vec{u}-\vec{v})=0\)
Substituindo a equação (II) na anteriormente isolada e, verificando aparecer a equação (I), substituir por zero, também :
\((\alpha \vec{u} + \beta \vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=0\\
\alpha \vec{u}\cdot\vec{u} + \alpha\vec{u}\cdot (-\vec{v})+\beta \vec{v}\cdot\vec{u} + \beta\vec{v}\cdot (-\vec{v})=0\\
\alpha||\vec{u}||^2-\beta||\vec{v}||^2=0\\
\alpha||\vec{u}||^2=\beta||\vec{v}||^2\)
Como os vetores tem tamanho igual concluímos:
\(\alpha=\beta=K\), onde K é um número real diferente de zero qualquer.
Então, o vetor w será:
\(\vec{w}=K\vec{u}+K\vec{v}\)
E seu módulo será:
\(||\vec{w}||^2=||K\vec{u}||^2+||K\vec{v}||^2\\
||\vec{w}||=\sqrt{K^2||\vec{u}||^2+K^2||\vec{v}||^2}\\
||\vec{w}||=K\sqrt{||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2}\\
||\vec{w}||=K\sqrt{X^2+X^2}\\
||\vec{w}||=KX\sqrt{2}\)
Para calcular o ângulo entre o vetor w e u e entre w e v basta usar o produto interno:
\(\vec{w}\cdot\vec{u}{=}||\vec{w}|| \text{ } ||\vec{u}|| \cos(\theta)\\
(K\vec{u}+K\vec{v})\cdot\vec{u}{=}KX\sqrt{2}\text { }X\cos(\theta)\\
K\vec{u}\cdot\vec{u}+K\vec{v}\cdot\vec{u}{=}KX^2\sqrt{2}\cos(\theta)\\
K||\vec{u}||^2{=}KX^2\sqrt{2}\cos(\theta)\\
KX^2{=}KX^2\sqrt{2}\cos(\theta)\\
1{=}1\sqrt{2}\cos(\theta)\\
\cos(\theta){=}\frac{1}{\sqrt{2}}
\theta{=}45^{\circ}\)
O mesmo ângulo fará com o outro vetor (v)
Espero ter ajudado!
