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| Dúvida sobre limites em Calculo I https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=14&t=8589 |
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| Autor: | murilolopes14 [ 26 abr 2015, 14:09 ] |
| Título da Pergunta: | Dúvida sobre limites em Calculo I |
Anexo:
Comentário do Ficheiro: Qual seria a resposta para essa questão? 20150426_092736.jpg [ 346.25 KiB | Visualizado 2040 vezes ] Qual seria a melhor resposta pra essa questão ? |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 26 abr 2015, 18:04 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Dúvida sobre limites em Calculo I |
Citar: Qual seria a melhor resposta pra essa questão ? A melhor resposta não sei (é algo subjetivo). Mas uma resposta possível é a seguinte. O limite \(\lim_{x\to a}f(x)\) existe se e só se existe um valor real \(L\in\mathbb{R}\) (valor do limite) tal que para qualquer \(\varepsilon >0\) existe um \(\delta >0\) tal que \(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon\). Isto implica que para qualquer \(\varepsilon >0\) existe uma vizinhança aberta de \(a\), \(V_\delta (a)=]a-\delta,a+\delta [\) tal que (1) \(x,y\in V_\delta (a) \Rightarrow |f(x)-f(y)|<2\varepsilon\) (pois \(|f(x)-f(y)|\leq |f(x)-L|+|L-f(y)|\)). Mas como qualquer intervalo aberto contem números racionais e números irracionais não pode uma vizinhança aberta de \(a\) para a qual é satisfeita a condição (1) caso \(\varepsilon <1/2\) (haverá sempre \(x,y\in V_\delta (a)\) tal que \(f(x)=1\) e \(f(y)=0\) que impede que \(|f(x)-f(y)|<2\varepsilon<1\)). |
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