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Dados os pontos A(2,1,3), B ( 4 , − 1 , 1 ) e o plano α : 2 x − y + 2 z − 3 = 0 ,
determine uma equação da reta r contida em α, tal que todo ponto de r é
equidistante dos pontos A e B.

Gabarito:

2 x − y + 2 z − 3 = 0 ou x − y − z − 1 = 0

Up.

Sugestão: Qualquer reta no espaço pode ser definida pelas equações de dois planos concorrentes cuja interseção seja a própria reta. Se a reta está contida no plano α : 2x−y+2z−3=0 podemos tomar essa equação faltando apenas a equação de um outro plano que contenha a reta. Pelas condições dadas esse plano pode ser o plano dos pontos equidistantes aos pontos A e B (esta condição define de facto um plano que é perpendicular ao vetor B-A=(2,-2,-2)). A equação de tal plano será então da forma 2x-2y-2z+c=0 onde c será tal que se substituirmos (x,y,z) em 2x-2y-2z+c por A=(2,1,3) e por B=(4 ,−1 ,1) vamos obter valor simétricos (i.e. \(2\times 2-2\times 1-2\times 3+c=-\left(2\times 4-2\times (-1)-2\times 1+c\right)\)). Agora é só fazer contas.