Demonstração de limites pela definição.

[GustavoFerreira]

Se a função \(f\) definida por \(f(x)=0\) se x é racional e \(f(x)=1\) se x é irracioanl, demonstre, pela definição, que \(\lim_{x \to 0}f(x)\) não existe.

[Sobolev]

Em qualquer vizinhança de x = 0 existem pontos onde a função vale zero (racionais) e pontos onde a função vale 1 (irracionais). É então possível contruir as seguintes sucessões:

\(x_n \to 0, \quad (x_n) \subset \mathbb{Q}
y_n \to 0, \quad (y_n) \subset \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\)

Usando a definição de limite segundo Heine, se o limite existisse deveríamos ter \(\lim f(x_n) = \lim f(y_n)\). No entanto

\(\lim f(x_n) = \lim 0 = {0}
\lim f(y_n) = \lim 1 = {1}\)

Concluímos assim que o limite não pode existir.