Intervalos - Isolar solução da função

[Estudioso]

Seja a função F(x) = sen(x) - ln(x) + 2. Dentre os intervalos abaixo, qual aquele que não atende os requisitos de um intervalo válido para isolar uma solução da função?

a) I = (3,5 ; 4)
b) I = (6 ; 6,5)
c) I = (7 ; 8)
d) I = (9 ; 11)
e) I = (13 ; 14)

Agradeço a quem puder me ajudar.

[Fraol]

Boa noite Estudioso.

Você pode usar o Teorema de Bolzano para justificar a alternativa C. Nesta, o valor de \(F\) nos extremos do intervalo possuem o mesmo sinal. Nas demais alternativas os sinais de \(F\) nos extremos do intervalo são opostos.

[Estudioso]

Tem como resolver pra mim por favor Fraol?

Obrigado

[Fraol]

Oi,

A solução ... bom ... eu usei a calculadora e calculei os valores (aproximados) de F nos extremos de cada intervalo:

a) I = (3,5 ; 4)
obtendo F ~ 0,40 e -0,14

b) I = (6 ; 6,5)
obtendo F ~ -0,07 e 0,34

c) I = (7 ; 8)
obtendo F ~ 0,71 e 0,91

d) I = (9 ; 11)
obtendo F ~ 0,21 e -1,4

e) I = (13 ; 14)
obtendo F ~ -0,14 e 0,35

Com estas informações, valendo-se do Teorema de Bolzano que é um caso particular do Teorema do Valor Intermediário podemos afirmar que o item c) não atende os requisitos de um intervalo válido para isolar uma solução da função.

[Estudioso]

Fraol, não sei como prosseguir por ainda não ter visto o Teorema de Bolzano na faculdade.

Pode me dar uma mão por favor?

Obrigado amigo

[Fraol]

Oi,

Quando olhei para o exercício, pensei é uma questão conceitual sobre o TVI / TB (nesta referência por exemplo). Por isso respondi de bate-pronto. A solução é esta: calcular F nos extremos de cada intervalo e avaliar pelo TB: se num extremo a função é negativa e noutro é positiva então ela passa por F = 0 ( tem pelo menos uma raiz no intervalo ). Do contrário, se os sinais de F nos extremos são iguais ( ++ ou -- ) então pode ser que F não passe por F=0 e daí pode não haver raiz.
Usei a calculadora pois nem sempre é fácil calcular manualmente senos e log natural para valores não notáveis.


Se não estiver estudando esse tema, por favor diga qual o assunto ou a referência que está utilizando, de onde saiu o exercício.

[Estudioso]

É uma questão da minha apostila (mas para uma matéria já mais adiantada que estava olhando). A questão até dá uma sugestão de usar o Teorema de Bolzano, mas é uma curiosidade minha por achá-la interessante.