Iterações e Erros - Intervalo Válido (Função)

[Estudioso]

Suponha uma função do tipo \(\small F(x)=\sqrt{x+2}+\frac{e^{x+1}}{2}-1200\). Isole a solução em um intervalo válido justificando a validade do intervalo. Com base no intervalo encontrado, escolha um valor inicial e encontre uma aproximação para a solução com um erro menor que 0,001 aplicando o Método das Secantes. Apresente as iterações encontradas bem como o cálculo do erro em cada uma delas. Conclua este exercício apontando o valor final obtido.

Agradeço a quem puder ajudar.

[Sobolev]

A função F é contínua e diferenciável, com F'>0 em \(]-2, +\infty[\). Deste modo sabemos que F terá no máximo uma raíz no intervalo referido. Além disso, como \(F(6)\times F(7) < 0\), sabemos que essa única raíz está precisamente no intervalo \(]6,7[\). O método da secante corresponde à construção da seguinte sucessão:

\(\left\{\begin{array}{l} \textrm{Escolher } x_0, x_1 \\ x_{n+1} = x_n - F(x_n) \cdot \frac{x_n-x_{n-1}}{F(x_n)-F(x_{n-1})}\end{array}\right.\)

Usando o Teorema de Lagrange, podemos obter um majorante do erro da forma

\(|z - x_{n}| \leq \frac{|F(x_n)|}{\min_{x \in I_n} |F'(x)|}\)

em que \(I_n\) é o menor intervalo que contém \(x_n, z\).

Assim, escolhendo \(x_0 =6, x_1 = 7\)

\(\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
i & x_i & F(x_i) \cdot F(x_{i-1}) & Maj. erro\\ \hline
0 & 6 & - &699.031 \\ \hline
1 & 7 & <0 & 0.19688 \\ \hline
2 & 6.68856 & <0 & 0.0965724 \\ \hline
3 & 6.77088 & >0& 0.00992335 \\ \hline
4 & 6.78121 &<0& 0.000467567 \\ \hline
\end{tabular}\)

OBS: A terceira coluna serve para localizar a raiz e poder obter o minimo da primeira derivada, quantidade que é necessária na majoração do erro.

Alternativamente, existe uma fórmula do erro para ao método das secantes, que relaciona o erro numa iteração com o produto dos erros nas duas iterações anteriores.