Máximos e Mínimos, Concavidades e Teoremas.

[Givaldo Fernandes]

Seja f(x) uma função derivável no intervalo (−1, 1) e suponha que f'(x) = x² +(f(x))², para todo x ∈ (−1, 1) e, além disso, que f(0) = 0.

a) Mostre que em x = 0 a reta tangente ao gráfico de f(x) é horizontal e que o ponto de abscissa x = 0 não é de máximo nem de mínimo.

b) Determine os intervalos onde f(x) é côncava para cima e para baixo.

Fiz da seguinte maneira a letra a) f'(0) = 0² + (f(0))², como f(0) = 0 => f'(0) = 0 + 0 = 0; Daí conclui-se que a reta tangente a curva em x = 0 é horizontal, como f'(x) >= 0 => f é sempre crescente, logo (0,0) não pode ser máximo nem mínimo.

Se eu tiver errado algo e quais teoremas eu deveria informar, por favor, avisem.

Já a letra b) não estou tendo ideias e peço ajuda.

[Sobolev]

A alínea a) está ok. Relativamente a b) pode simplesmente calcular a segunda derivada:

\(f''(x) = (f'(x))' = (x^2 + (f(x))^2)' = 2x + 2 f'(x) f(x) = 2x + 2(x^2+(f(x))^2)f(x)=2x+2x^2 f(x) + 2f(x)^3\)

Como f(0) = 0 e \(f'(x)>0, x \ne 0\) concluímos que a função f toma valores negativos para x<0 e valores positivos para x>0. Então,

1. Se x >0, temos que f(x)>0 pelo que \(f''(x)=2x+2x^2 f(x) + 2f(x)^3 >0\) (soma de 3 parcelas positivas). A função é convexa (concavidade voltada para cima).

2. Se x < 0, temos que f(x) < 0 pelo que \(f''(x)=2x+2x^2 f(x) + 2f(x)^3 < 0\) (soma de 3 parcelas negativas). A função é contava (concavidade voltada para baixo).

3. x=0 é um ponto de inflexão já que \(f''(0) = 0\) e f'' muda de sinal.

[Givaldo Fernandes]

Muito obrigado. :D