f e g tais que a funcão composta g o f é injetiva
12 abr 2013, 16:55
Podem verificar a minha resolução?
Dadas duas funcões f e g tais que a funcão composta g o f é injectiva, relativamente à funcão f podemos a firmar:
a) A funcão f é injectiva
b) A funcão f so é injectiva se g tambem for injectiva
c) A funcão f nunca pode ser injectiva
d) O problema, como colocado, não é conclusivo
Na minha opinião a resposta a) é a correta
mas gostaria de confirmar....
Cumprimentos
Dadas duas funcões f e g tais que a funcão composta g o f é injectiva, relativamente à funcão f podemos a firmar:
a) A funcão f é injectiva
b) A funcão f so é injectiva se g tambem for injectiva
c) A funcão f nunca pode ser injectiva
d) O problema, como colocado, não é conclusivo
Na minha opinião a resposta a) é a correta
mas gostaria de confirmar....
Cumprimentos
Re: f e g tais que a funcão composta g o f é injetiva
12 abr 2013, 18:07
Repare que pela definição de função injetiva, pode-se dizer neste caso,
que para todos \(x_1 \neq x_2\Rightarrow g(f(x_1))\neq g(f(x_2))\)
consegue avançar???
que para todos \(x_1 \neq x_2\Rightarrow g(f(x_1))\neq g(f(x_2))\)
consegue avançar???
Re: f e g tais que a funcão composta g o f é injetiva
12 abr 2013, 19:39
Obrigado pela ajuda,
mas não sei se percebi o que pretende dizer...
Segundo a definição de função injetiva:
Uma função diz-se injectiva se e somente se quaisquer que sejam x1 e x2 ( pertencentes ao domínio da função ),
x1 é diferente de x2 implica que f(x1) é diferente de f(x2).
logo para g o f ser injetiva, se x1 é diferente de x2 então as imagens de g(f(x1) e g(f(x2) também têm de ser diferentes.
Na minha opinião a resposta c) está errada porque se f é injetiva não altera o facto de g o f ser injetiva.
Relativamente à opção b) a minha dúvida é porque é que o facto de g ser injetiva implica que f teria de ser sempre injetiva?
Além disso, neste caso, g também tem que ser necessáriamente injetiva ou g poderia ser sobrejetiva?
mas não sei se percebi o que pretende dizer...
Segundo a definição de função injetiva:
Uma função diz-se injectiva se e somente se quaisquer que sejam x1 e x2 ( pertencentes ao domínio da função ),
x1 é diferente de x2 implica que f(x1) é diferente de f(x2).
logo para g o f ser injetiva, se x1 é diferente de x2 então as imagens de g(f(x1) e g(f(x2) também têm de ser diferentes.
Na minha opinião a resposta c) está errada porque se f é injetiva não altera o facto de g o f ser injetiva.
Relativamente à opção b) a minha dúvida é porque é que o facto de g ser injetiva implica que f teria de ser sempre injetiva?
Além disso, neste caso, g também tem que ser necessáriamente injetiva ou g poderia ser sobrejetiva?
Re: f e g tais que a funcão composta g o f é injetiva
13 abr 2013, 18:17
João P. Ferreira:
Continuo a achar que a resposta correta é a a).
Na tua opinião qual é a resposta correta?
Sei que me apontaste para o caminho certo,
mas não percebi o que pretendias explicar...
Cumprimentos
Continuo a achar que a resposta correta é a a).
Na tua opinião qual é a resposta correta?
Sei que me apontaste para o caminho certo,
mas não percebi o que pretendias explicar...
Cumprimentos
Re: f e g tais que a fun
13 abr 2013, 20:35
Caro
Perdão, estive a pensar no assunto
Repare que se se sabe que \(g \circ f\) é injetiva então \(g(f(x_1))\neq g(f(x_2))\) para \(x_1 \neq x_2\)
ora como g é uma função, ou seja tem apenas uma imagem para cada objeto, \(f(x)\) tem de ser injetiva, logo a resposta a) está certa
repare que se \(f(x)\) não fosse injetiva poderia \(f(x_1)=f(x_2)\) para \(x_1 \neq x_2\) e nesse caso (como \(g\) é uma função) \(g(f(x_1))=g(f(x_2)\) fazendo com que \(g \circ f\) também não fosse injetiva
logo (parece-me) que a resposta a) é a correta
Perdão, estive a pensar no assunto
Repare que se se sabe que \(g \circ f\) é injetiva então \(g(f(x_1))\neq g(f(x_2))\) para \(x_1 \neq x_2\)
ora como g é uma função, ou seja tem apenas uma imagem para cada objeto, \(f(x)\) tem de ser injetiva, logo a resposta a) está certa
repare que se \(f(x)\) não fosse injetiva poderia \(f(x_1)=f(x_2)\) para \(x_1 \neq x_2\) e nesse caso (como \(g\) é uma função) \(g(f(x_1))=g(f(x_2)\) fazendo com que \(g \circ f\) também não fosse injetiva
logo (parece-me) que a resposta a) é a correta
Re: f e g tais que a funcão composta g o f é injetiva [resolvida]
13 abr 2013, 21:31
Tinha quase a certeza que a resposta a) seria a correta
mas não sabia justificar porque é que a b) não estaria correta...
Agora já percebi este exercício!
Obrigado pelo esclarecimento!
mas não sabia justificar porque é que a b) não estaria correta...
Agora já percebi este exercício!
Obrigado pelo esclarecimento!