problema de topologia

[Walter R]

Preciso provar que à ( fecho de A) é a intersecção de todos os fechados que contêm A e que int(A) é a união de todos os abertos contidos em A. Alguém tem uma dica de como eu posso formalizar uma solução para este problema?

[Rui Carpentier]

Depende muito das definições que usa para fecho e interior.

Por exemplo, se a definição de interior de A for o maior dos abertos contidos em A então é fácil ver que o interior é a união de todos os aberto contidos em A pois uma união de abertos é um aberto que está contido em A (logo tem que estar contida no maior aberto contido em A) e por outro lado esta união terá que conter o interior pois este é um aberto contido em A.

Mas a definição de interior pode ser a do conjunto de todos os pontos interiores. Neste caso, podemos ver que, por um lado a união de todos os aberto contidos em A contém todos os pontos interiores (pois por definição um ponto interior está contido num aberto contido em A), por outro lado todos os pontos da união de todos os aberto contidos em A são pontos interior (pois esta união é um aberto contido em A).

O mesmo problema se põe para o fecho.