Boa tarde,
Essa equivalência vale para quaisquer polinômios.
Vamos lá então ( talvez falte uma palavrinha (formalidade matemática) ou outra mas creio que em linhas gerais é isso):
A gente quer provar:
Antonio123 Escreveu:mdc(f,g) =1 se e somente se f e g não tem raiz em comum
Então devemos provar: \(mdc(f,g) = 1 \Rightarrow f \text{ e } g \text{ nao tem raiz em comum}\)
\(mdc(f,g) = 1\) então \(f\) e \(g\) são primos entre si, então existem polinômios \(p\) e \(q\) tais que \(fp + gq = 1\).
Vamos supor que \(x_f\) seja raiz de \(f\) então \(f(x_f) = 0\).
Assim temos que \(f(x_f)p(x_f) + g(x_f)q(x_f) = 1\),
logo \(g(x_f)q(x_f) = 1\), portanto \(g(x_f) \neq 0\).
Ou seja \(x_f\) não é raiz de \(g\) e concluímos que \(f \text{ e } g \text{ nao tem raiz em comum}\).
e provar: \(f \text{ e } g \text{ nao tem raiz em comum} \Rightarrow mdc(f,g) = 1\)
Partindo da hipótese que \(f \text{ e } g \text{ nao tem raiz em comum}\),
vamos supor que \(mdc(f,g) = d \neq 1\), sendo \(d\) um polinômio.
Assim \(f\) e \(g\) não são primos entre si.
Então \(d\) deve ter uma raiz, todo polinômio tem ao menos uma raiz (TFA).
Seja \(x_d\) essa raiz. Então \(x_d\) é raiz de \(f\) e \(g\) pois \(d\) divide ambos.
Só que isso contraria nossa hipótese e portanto concluímos que \(mdc(f,g) = 1\).
É isso.