problema envolvendo função derivável [resolvida]
19 jun 2013, 20:11
Agradeceria uma sugestão para resolver o seguinte problema:
" Seja \(f:[0,\infty] \rightarrow \mathbb R\) derivável. Suponha que existam os limites \(lim_{x \rightarrow + \infty}f(x)= A\) e \(lim_{x \rightarrow + \infty} f'(x)=B\). Prove que \(B=0\)
que tal assim:
como existe \(lim_{x \rightarrow + \infty} f(x)=A\), podemos afirmar que \(lim_{x \rightarrow +\infty}(f(n+1)-f(n))= 0\). Seja então \(x \in [n,n+1]\). Pelo Teorema do Valor Médio, \(f(n+1)-f(n)= f'(x).1\). Aplicando limite ao infinito a ambos os lados da equação, não chegamos ao resultado pretendido?
" Seja \(f:[0,\infty] \rightarrow \mathbb R\) derivável. Suponha que existam os limites \(lim_{x \rightarrow + \infty}f(x)= A\) e \(lim_{x \rightarrow + \infty} f'(x)=B\). Prove que \(B=0\)
que tal assim:
como existe \(lim_{x \rightarrow + \infty} f(x)=A\), podemos afirmar que \(lim_{x \rightarrow +\infty}(f(n+1)-f(n))= 0\). Seja então \(x \in [n,n+1]\). Pelo Teorema do Valor Médio, \(f(n+1)-f(n)= f'(x).1\). Aplicando limite ao infinito a ambos os lados da equação, não chegamos ao resultado pretendido?
Re: problema envolvendo função derivável
19 jun 2013, 23:19
Boa pergunta 
Aqui vai resolução
\(f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ \lim_{x \to +\infty} f'(x)=\lim_{x \to +\infty}\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\lim_{x\to +\infty}f(x+h)-\lim_{x \to +\infty}f(x)}{h}=\\ =\lim_{h \to 0}\frac{A-A}{h}=0\)
meu caro, já que nos coloca perguntas algo complexas, é hora de começar a retribuir à comunidade respondendo a quem precisa, pois vejo que tem bons conhecimentos matemáticos
search.php?search_id=unanswered
um bem-haja
Aqui vai resolução
\(f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ \lim_{x \to +\infty} f'(x)=\lim_{x \to +\infty}\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\lim_{x\to +\infty}f(x+h)-\lim_{x \to +\infty}f(x)}{h}=\\ =\lim_{h \to 0}\frac{A-A}{h}=0\)
meu caro, já que nos coloca perguntas algo complexas, é hora de começar a retribuir à comunidade respondendo a quem precisa, pois vejo que tem bons conhecimentos matemáticos
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um bem-haja
Re: problema envolvendo função derivável
20 jun 2013, 02:27
Quem me dera, João!
Talvez eu possa contribuir auxiliando os estudantes de ensino médio, pois em relação à Matemática Superior sou simples aprendiz. Falta-me maturidade matemática para discutir temas mais complexos.
Obs. Obrigado pela resposta!
Talvez eu possa contribuir auxiliando os estudantes de ensino médio, pois em relação à Matemática Superior sou simples aprendiz. Falta-me maturidade matemática para discutir temas mais complexos.
Obs. Obrigado pela resposta!
Re: problema envolvendo função derivável
20 jun 2013, 12:40
Claro, referia-me a essas perguntas de ensino médio, está apto para responder
Saudações pitagóricas
Saudações pitagóricas