Função diferenciável

[saramatos]

Boa noite


Considere a função f(x)

x*e^x se x ≤ 0
x*lnx se x > 0


Verifique se a função f é diferenciável em x=0



Obrigado

[Sobolev]

A função será diferenciável no ponto x=0 se tiver derivada nesse ponto. Ora,

\(f'(0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{f(h)}{h}\)

Aqui a questão é que a expressão concreta de f(h) dependerá do facto de h ser positivo ou negativo, pelo que devemos considerar as duas situações, calculando a derivada à esquerda e à direita:

\(f'(0^-)=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to 0^+}\frac{h e^h}{h} = 1\)

\(f'(0^+)=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to 0^+}\frac{h \log h}{h} = -\infty\)

Como a derivada à direita não é finita, a função não é diferenciável. Para ser diferenciável as derivadas laterais teriam que ser finitas e iguais entre si.